4-gradient

Un gradient cu 4 ( 4 gradient , patru gradient , 4 nabla ; notat cu D , sau ) în relativitate specială este un operator diferenţial cu 4 vectori în spaţiul pseudo-euclidian Minkowski , definit ca [1] $\nabla _{\mu }$ $\partial_{\mu}$

\partial _{\mu }=\nabla _{\mu }=\left({\frac {\partial {c\,\partial t)),\;{\vec {\nabla ))\ dreapta)=\left({\frac {\partial }{c\,\partial t)),\;{\frac {\partial }{\partial x)),\;{\frac {\partial }{\ parțial y)),\;{\frac {\partial }{\partial z))\;\right),

unde este vectorul cu 3 gradiente . Trebuie remarcat faptul că componentele covariante ale operatorului cu 4 vectori sunt scrise mai sus. Componentele contravariante care diferă printr-un semn minus în fața componentelor spațiale sunt rareori utilizate, de exemplu, pentru a calcula pătratul gradientului de 4 [1] (aici și mai jos - tensorul metric ; convenția lui Einstein privind însumarea peste indici de coordonate repeți este folosit). ${\vec {\nabla }}=\left({\frac {\partial }{\partial x)),\;{\frac {\partial }{\partial y)),\;{\frac {\partial }{\partial z))\;\right)$ $\partial ^{\mu }=\nabla ^{\mu }=g^{\mu \nu }\nabla _{\nu }=\left({\frac {\partial {c\,\ parțial t)),\;-{\vec {\nabla }}\right),$ $g^{\mu \nu }=\mathrm {diag} (1,-1,-1,-1)$

Dacă calculăm produsul scalar D de la sine (având în vedere că spațiul Minkowski este pseudo -euclidian), atunci obținem operatorul scalar 4-dimensional d'Alembert :

\square =D\cdot D=g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }=\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={ \frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^{2}}}-\Delta ={\frac {\partial ^{2}}{c^{2}\partial t^ {2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}- {\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\;,

unde Δ este operatorul Laplace .

O altă modalitate de a desemna un gradient de 4 este cu o virgulă înaintea indexului de coordonate. Astfel, dacă a este un scalar, atunci gradientul său de 4

\partial _{\mu }a=a_{\;,\mu }\;.

Produsul scalar al unui vector cu 4 gradiente (stânga) și al unui vector cu 4 definește o divergență cu 4 :

D\cdot A=\partial _{\mu }A^{\mu }=A_{\;,\mu }^{\mu }={\frac {\partial A_{t)}{c\ ;\partial t))+{\frac {\partial A_{x)){\partial x))+{\frac {\partial A_{y)){\partial y))+{\frac {\partial A_ {z}}{\partial z}}={\frac {\partial A_{t}}{c\;\partial t}}+\nabla \mathbf {A} ,

unde sunt componentele contravariante ale 4-vectorului și este divergența lui . $A^{\mu }=\{A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\}=\{A_{t},\mathbf {A} \}$ $\nabla \mathbf {A}$

Simbolul (și uneori ) este, de asemenea, folosit ca derivată covariantă în coordonatele curbilinii : $D_{\mu )$ $\nabla _{\mu }$

D_{\mu }A^{\nu }=\partial _{\mu }A^{\nu }+\Gamma _{\alpha \mu }^{\nu }A^{\alpha },

unde sunt simbolurile Christoffel . În coordonatele carteziene ale spațiului euclidian (pseudo-euclidian), simbolurile Christoffel sunt zero și derivata covariantă coincide cu gradientul de 4. Derivata covariantă a unui scalar coincide cu gradientul de 4, indiferent de curbiliniaritatea coordonatelor: $\Gamma _{\alpha \mu }^{\nu )$

D_{\mu }a=\partial _{\mu }a.

Link -uri

S. Hildebrandt, „Analiză II” (Calcul II), ISBN 3-540-43970-6 , 2003.
LC Evans, „Ecuații cu diferențe parțiale”, AMSociety, Grad. Studii Vol. 19, 1988.
JD Jackson, „Electrodinamică clasică” Capitolul 11, Wiley ISBN 0-471-30932-X .

Note

↑ 1 2 Landau L. D. , Lifshitz E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. - M .: Nauka , 1988. - P. 37. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .