ARIMA

ARIMA ( în engleză autoregressive integrated moving average , uneori model Box-Jenkins, Box-Jenkins methodology ) este un model integrat de medie mobilă autoregresiv - un model și o metodologie pentru analiza seriilor temporale . Este o extensie a modelelor ARMA pentru seriile de timp nestaționare, care pot fi făcute staționare prin luarea unor diferențe de o anumită ordine față de seria temporală inițială (așa-numita serie de timp integrată sau diferență-staționară). Model înseamnă că diferențele din seria temporală de ordine urmează modelul . $ARIMA(p,d,q)$ $d$ $ARMA(p,q)$

Definiția formală a unui model

Modelul pentru o serie temporală nestaționară are forma: $ARIMA(p,d,q)$ $X_{t}$

\triangle ^{d}X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}a_{i}\triangle ^{d}X_{ti}+\sum _{j=1} ^{q}b_{j}\varepsilon _{tj}+\varepsilon _{t}

unde este o serie temporală staționară ; $\varepsilon _{t}$

c,a_{i},b_{j)

sunt parametrii modelului.

\triunghi ^{d)

— operator de diferență în serie de timp de ordinul d (luarea succesivă a d ori a diferențelor de ordinul întâi - mai întâi din seria temporală, apoi din diferențele obținute de ordinul întâi, apoi din ordinul al doilea etc.)

De asemenea, acest model este interpretat ca - un model cu rădăcini unitare . Pentru , avem modelele obișnuite . $ARMA(p+d,q)$ $d$ $d=0$ $ARMA$

Reprezentarea operatorului

Folosind operatorul de întârziere , datele modelului pot fi scrise după cum urmează: $L:~Lx_{t}=x_{{t-1}}$

(1-L)^{d}X_{t}=c+(\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i})(1-L)^{d} X_{t}+(1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j})\varepsilon _{t}

sau pe scurt:

a(L)(1-L)^{d}X_{t}=c+b(L)\varepsilon _{t)

Unde $a(L)=1-\sum _{i=1}^{p}a_{i}L^{i}$

b(L)=1+\sum _{j=1}^{q}b_{j}L^{j}

Exemplu

Cel mai simplu exemplu de model ARIMA este binecunoscutul model de mers aleatoriu:

x_{t}=x_{t-1}+\varepsilon _{t}\Rightarrow \triangle x_{t}=(1-L)x_{t}=\varepsilon _{t)

Prin urmare, acesta este un model . $ARIMA(0,1,0)$

Serii cronologice integrate

Modelele ARIMA vă permit să modelați serii de timp staționare integrate sau diferențiate (seria DS , diferență staționară).

O serie temporală se numește ordine integrată (de obicei scrisă ) dacă diferențele seriei de ordine , adică sunt staționare, în timp ce diferențele de ordin mai mic (inclusiv ordinul zero, adică seria temporală în sine) nu sunt staționare cu cu privire la unele serii de tendințe (serie TS, tendință staționară). În special , acesta este un proces staționar. $X_{t}$ $k$ $X_{t}\sim I(k)$ $k$ $\triunghi ^{k}x_{t)$ $eu (0)$

Ordinea de integrare a seriei de timp este ordinea modelului . $d$ $ARIMA(p,d,q)$

Metodologia ARIMA (Box-Jenkins)

Abordarea ARIMA a seriilor de timp este că staționaritatea serii este evaluată mai întâi. Diverse teste relevă prezența rădăcinilor unității și ordinea de integrare a seriei de timp (limitate de obicei la primul sau al doilea ordin). În plus, dacă este necesar (dacă ordinea de integrare este mai mare decât zero), seria este transformată luând diferența de ordine corespunzătoare și deja pentru modelul transformat se construiește un anumit model ARMA, deoarece se presupune că procesul rezultat este staționar, spre deosebire de procesul original non-staționar (diferență-staționar sau proces integrat de ordine ). $d$

Modele ARFIMA

Teoretic, ordinea de integrare a seriei de timp poate să nu fie o valoare întreagă, ci una fracțională. În acest caz, se vorbește de modele autoregresive integrate fracționat - medie mobilă (ARFIMA, AutoRegressive Fractional Integrated Moving Average). Pentru a înțelege esența integrării fracționale, este necesar să se ia în considerare extinderea operatorului de luare a --a diferență într-o serie de puteri în puteri ale operatorului de întârziere pentru cele fracționale ( expansiunea seriei Taylor ): $d$ $d$ $d$

\triangle ^{d}=(1-L)^{d}=\sum _{k=0}^{\infty }\prod _{j=0}^{k-1}(dj) {\frac {(-1)^{k}}{k!}}L^{k}

Literatură

Ayvazyan S.A. Statistici aplicate. Fundamentele econometriei. Volumul 2. - M . : Unitate-Dana, 2001. - 432 p. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya. R., Katyshev P. K., Peresetsky A. A. Econometrie. Curs inițial. - M . : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Econometrie. Manual / Ed. Eliseeva I. I. - ed. a II-a. - M. : Finanțe și statistică, 2006. - 576 p. — ISBN 5-279-02786-3 .

Dicționare și enciclopedii	mare chinezesc Britannica (online)