Functorul Hom

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 decembrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

În teoria categoriilor , mulţimile Hom (adică mulţimile de morfisme între două obiecte) permit definirea functorilor importanţi în categoria mulţimilor . Acești functori se numesc functori Hom și au numeroase aplicații în teoria categoriilor și în alte domenii ale matematicii.

Definiție

Fie C o categorie local mică de . Atunci pentru oricare dintre obiectele sale A , B sunt definiți următorii doi functori:

Hom( A ,-) : C → Set	Hom(-, B ) : C → Set
Acesta este un functor covariant definit după cum urmează: Hom( A ,-) mapează fiecare obiect X din categoria C la mulțimea de morfisme Hom( A , X ) Hom( A ,-) mapează fiecare morfism f : X → Y într-o funcție Hom( A , f ): Hom( A , X ) → Hom( A , Y ) dat ca $g\mapsto f\circ g$ pentru fiecare g din Hom( A , X ).	Acesta este un functor contravariant definit după cum urmează: Hom(-, B ) mapează fiecare obiect X din categoria C la mulțimea de morfisme Hom( X , B ) Hom(-, B ) mapează fiecare morfism h : X → Y într-o funcție Hom( h , B ) : Hom( Y , B ) → Hom( X , B ) dat de $g\mapsto g\circ h$ pentru fiecare g din Hom( Y , B ).

Functorul Hom(-, B ) se mai numește și functorul punctual al obiectului B .

De asemenea, este posibil să se definească un bifunctor Hom(-,-) de la C × C la Set care este contravariant în primul argument și covariant în al doilea. Sau, echivalent, un functor

Hom(-,-) : C op × C → Set

unde C op este categoria duală a lui C .

Functor interior Hom

În unele categorii, este posibil să se definească un functor care este similar cu functorul Hom, dar ale cărui valori se află în categoria în sine. Un astfel de functor se numește functorul interior Hom și se notează

{\text{hom}}(-,-):C^{{op}}\time C\la C

Categoriile care permit un functor Hom interior sunt numite categorii închise . Deoarece într-o categorie închisă (aici I este unitatea categoriei închise), aceasta poate fi rescrisă ca $A\cong hom(I,A)$

{\text{Hom}}(I,{\text{hom}}(-,-))\simeq {\text{Hom}}(-,-)

În cazul unei categorii monoidale închise, aceasta poate fi extinsă la așa-numitul curry , adică un izomorfism

{\text{Hom}}(X,Y\Rightarrow Z)\simeq {\text{Hom}}(X\otimes Y,Z)

unde este . $Y\Săgeată la dreapta Z$ ${\text{hom}}(Y,Z)$

Definiții înrudite

Un functor de forma Hom(-, C) : C op → Set este un presheaf ; în consecință, Hom(C, -) poate fi numit un copresheaf.
Un functor F : C → Setat natural izomorf la Hom(X, -) pentru un obiect C este numit functor reprezentabil .
Hom(-, -) : C op × C → Set este un profunctor , și anume profunctorul de identitate . ${\text{id}}_{C}\colon C\nrightarrow C$
Functorul interior Hom păstrează limitele ; și anume, ia limite la limite și limite la colimite. Într-un sens, aceasta poate fi considerată ca definiția unei limite sau a unei colimite. ${\text{hom}}(X,-):C\la C$ ${\text{hom}}(-,X):C^{{\text{op}}}\la C$
Functorul Hom este un exemplu de functor exact stâng .

Vezi și

Note

S. McLane. Categorii pentru un matematician activ, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Goldblatt, R. Topoi. Analiza categorică a logicii, - M . : Mir, 1983. - 487 p.
Nathan Jacobson . Algebră de bază (nedefinită) . — al 2-lea. - Dover, 2009. - Vol. 2. - ISBN 978-0-486-47187-7 .