Categoria functorilor

În teoria categoriilor, functorii dintre două categorii fixe formează o categorie ale cărei morfisme sunt transformări naturale .

Definiție

Fie C o categorie mică (obiectele și morfismele sale formează o mulțime) și D o categorie arbitrară. Atunci categoria functorilor de la C la D , notată cu Fun( C , D ), Funct( C , D ), sau D C , este definită astfel: obiectele sunt functori covarianți de la C la D , morfismele sunt transformări naturale între aceștia. functori. Deoarece compoziția transformărilor naturale este naturală (vezi transformarea naturală ) și transformarea identității este naturală, D Csatisface axiomele categoriei.

Categoria functorilor contravarianți de la C la D este definită în mod similar, notată prin Funct( C op , D ).

Exemple

Dacă I este o categorie discretă mică (toate morfismele sunt identice), atunci un functor de la I la C este doar o familie de obiecte C indexate de I . Categoria C I în acest caz corespunde unei anumite categorii de produs .
Categoria săgeților (obiectele sunt morfisme ale lui C , morfismele sunt pătrate comutative) este categoria lui , unde 2 denotă categoria a două obiecte, morfisme identice și un morfism de la primul obiect la al doilea. ${\mathcal {C}}^{\rightarrow }$ ${\mathcal {C}}^{\mathbf {2} }$
un grafic direcționat este un set de săgeți și un set de vârfuri care asociază fiecare săgeată cu un vârf de început și un vârf de sfârșit. Categoria grafurilor direcționate nu este altceva decât categoria Mulțimii C , unde C este o categorie cu două obiecte și două morfisme între ele, iar Mulțimea este categoria mulțimilor .

Proprietăți

Dacă D este o categorie completă (sau cocompletă), atunci la fel este și D C ;
Dacă D este o categorie abeliană , atunci la fel este și D C ;
Dacă C este o categorie mică, atunci categoria de presheaves Setul C este un topos .
Fiecare functor F : D → E induce un functor F C : D C → E C (prin compunerea cu F ). Dacă F și G sunt o pereche de functori adjuncți , atunci la fel sunt și F C și G C.
Categoria D C satisface toate proprietăţile exponenţialului ; în special, functorii E × C → D sunt în corespondență unu-la-unu cu functorii de la E la D C . Categoria Cat de categorii mici este deci închisă carteziană .

Literatură

Tom Leinster. Operade superioare, categorii superioare (nedefinite) . — Cambridge University Press , 2004. Arhivat 6 decembrie 2013 la Wayback Machine