Axioma Playfair

Axioma Playfair este o axiomă care poate fi folosită în locul celui de -al cincilea postulat al lui Euclid ( axioma paralelismului ):

Având în vedere o dreaptă în plan și un punct în afara acelei drepte, prin punctul [1] poate fi trasată cel mult o dreaptă paralelă cu dreapta dată .

Axioma lui Playfair este echivalentă cu axioma paralelismului a lui Euclid în contextul geometriei euclidiene [2] . Axioma a fost numită după matematicianul scoțian John Playfair . Sintagma „cel mult unul” este tot ceea ce este necesar, deoarece din axiomele rămase se poate dovedi că există cel puțin o linie. Afirmația este adesea scrisă ca „există una și o singură paralelă”. În „Elementele” lui Euclid două drepte sunt numite paralele dacă nu se intersectează și nu sunt folosite alte descrieri ale dreptelor paralele [3] [4] .

Axioma este folosită nu numai în geometria euclidiană, ci și în geometria afină , în care noțiunea de paralelism este centrală. În ceea ce privește geometria afină, este necesară o formă mai puternică a axiomei Playfair (în care „cel mult unul” este înlocuit cu „unul și numai unul”), deoarece axiomele geometriei neutre nu oferă o dovadă a existenței. Versiunea Playfair a axiomei a devenit atât de populară încât este denumită axioma de paralelism a lui Euclid [5] , deși nu este versiunea euclidiană a axiomei. Din axiomă rezultă că relația binară de paralelism a liniilor este o relație serială .

Istorie

Proclus (410–485 d.Hr.) clarifică afirmația axiomei în comentariul său la Euclid I.31 (Cartea I, Propoziția 31) [6] .

În 1785, William Ludlum a afirmat axioma paralelismului după cum urmează [7] :

Două drepte care se intersectează într-un punct nu pot fi paralele cu o a treia dreaptă.

Această scurtă expresie a paralelismului euclidian a fost împrumutată de Playfair în cartea sa Elements of Geometry ( Elements of Geometry , 1795), care a fost adesea retipărită. El a scris [8] :

Două linii care se intersectează nu pot fi ambele paralele cu aceeași a treia dreaptă.

Playfair a mulțumit lui Ludlum și altora pentru simplificarea declarației lui Euclid. Ulterior, punctul de intersecție a două drepte a venit în prim-plan și negația a două drepte paralele s-a transformat în unicitatea dreptelor paralele care trec prin punctul dat [9] .

În 1883 , Arthur Cayley a fost președintele Asociației Britanice și și-a exprimat această opinie în discursul său adresat Asociației [10] :

Din punctul meu de vedere, cea de-a douăsprezecea axiomă a lui Euclid în forma Playfair nu necesită dovezi, ci face parte din conceptul nostru de spațiu, spațiul fizic al experienței noastre, care este reprezentarea care stă la baza experienței noastre de viață.

Când David Hilbert a scris cartea sa The Foundations of Geometry (1899) [11] , prezentând un nou set de axiome pentru geometria euclidiană, el a folosit axioma Playfair în discuția sa despre liniile paralele mai degrabă decât versiunea originală a lui Euclid [12] .

Legătura cu al cincilea postulat al lui Euclid

Axioma paralelismului a lui Euclid spune:

Dacă un segment intersectează două drepte , formând două unghiuri interioare pe o latură, dând un total de mai puțin de două unghiuri drepte , atunci două drepte, extinse la infinit, se intersectează pe latura în care suma unghiurilor este mai mică de două unghiuri drepte [13] .

Complexitatea acestei afirmații în comparație cu formularea Playfair arată clar motivul popularității axiomei Playfair atunci când discutăm despre axioma paralelismului.

În contextul geometriei absolute , cele două afirmații sunt echivalente, ceea ce înseamnă că o afirmație poate fi dovedită din cealaltă având în vedere celelalte axiome ale geometriei. Afirmațiile nu sunt echivalente din punct de vedere logic (ceea ce ar însemna că una nu poate fi demonstrată de la alta decât prin inferență formală), deoarece, de exemplu, în modelul sferic al geometriei eliptice , o afirmație este adevărată, iar cealaltă este falsă [14] . O afirmație echivalentă din punct de vedere logic este adevărată în toate modelele în care este interpretată.

Demonstrațiile de mai jos presupun că toate axiomele geometriei absolute (neutre) sunt valabile.

Axioma lui Playfair decurge din al cincilea postulat al lui Euclid

Cel mai simplu mod de a arăta acest lucru este să folosiți teorema lui Euclid (echivalentă cu postulatul al cincilea), care afirmă că suma unghiurilor unui triunghi este egală cu două unghiuri drepte. Dacă este dată o dreaptă și un punct P este în afara ei, construim o dreaptă t perpendiculară pe dreapta dată și care trece prin punctul P , iar apoi o perpendiculară pe această perpendiculară prin punctul P . Această linie este paralelă cu o dreaptă deoarece nu poate intersecta o dreaptă și nu poate forma un triunghi, așa cum se spune în declarația 27 din cartea 1 din Elementele lui Euclid [15] . Acum este clar că nu există altă paralelă. Dacă n ar fi a doua dreaptă paralelă prin punctul P , atunci n ar avea un unghi ascuțit cu dreapta t (din moment ce nu este perpendiculară), iar în ipoteza celui de-al cincilea postulat este adevărată , n s-ar intersecta cu [16 ] .

Axioma lui Playfair implică al cincilea postulat al lui Euclid

Dacă din postul lui Playfair rezultă că perpendiculara pe perpendiculară este paralelă cu dreapta inițială, liniile din construcția lui Euclid trebuie să se intersecteze. Trebuie demonstrat că se vor intersecta pe latura pe care suma unghiurilor este mai mică de două unghiuri drepte, dar această demonstrație este mult mai complicată [17] .

Tranzitivitatea paralelismului

Afirmația 30 a lui Euclid spune: „Două drepte care sunt fiecare paralelă cu o a treia dreaptă sunt paralele”. De Morgan a remarcat [18] că această afirmație este echivalentă logic cu axioma Playfair. Această remarcă a fost repetată de T. L. Heath în 1908 [19] . Argumentul lui De Morgan este următorul: Fie X mulțimea perechilor distincte de drepte care se intersectează și Y mulțimea perechilor distincte de drepte paralele cu aceeași dreaptă comună. Dacă z reprezintă o pereche de linii distincte, atunci afirmația

Pentru tot z , dacă z este în X , atunci z nu este în Y ,

este axioma Playfair (în termenii lui de Morgan, No X este Y ) și contrapoziția sa echivalentă logic este ,

Pentru tot z , dacă z se află în Y , atunci z nu se află în X ,

este afirmația I.30 a lui Euclid a tranzitivității paralelismului (Nu Y este X ).

Recent, implicația a fost reformulată în termenii relației de paralelism binar a liniilor : în geometria afină , relația este considerată o relație de echivalență , ceea ce înseamnă că linia este considerată paralelă cu ea însăși . Andy Liu [20] a scris: „Fie P un punct care nu este pe dreapta 2. Să presupunem că atât linia 1, cât și linia 3 trec prin P și sunt paralele cu dreapta 2. Prin tranzitivitate , ele sunt paralele între ele și, prin urmare, nu pot avea comun punctul P. _ Rezultă că sunt aceeași linie dreaptă, ceea ce este axioma Playfair.”

Note

  1. ↑ Playfair, 1846 , p. 29.
  2. ↑ mai precis, în contextul geometriei absolute .
  3. ↑ Elementele lui Euclid, Cartea I, definiția 23 . Preluat la 19 august 2018. Arhivat din original la 1 noiembrie 2010.
  4. ↑ Heath, 1956 , p. Vol. 1, p. 190.
  5. ↑ de exemplu, Rafael Artzy (1965) Linear Geometry , pagina 202, Addison-Wesley )
  6. ↑ Heath, 1956 , p. Vol. 1, p. 220.
  7. ↑ Ludlam, 1785 , p. 145.
  8. ↑ Playfair, 1846 , p. unsprezece.
  9. ↑ Playfair, 1846 , p. 291.
  10. ↑ Frankland, 1910 , p. 31.
  11. ↑ Hilbert, 1923 .
  12. ↑ Eves, 1963 , p. 385-7.
  13. ↑ Phillips, 1826 , p. 3.
  14. ↑ Henderson, Taimiņa, 2005 , p. 139.
  15. ↑ Acest argument depășește ceea ce este necesar pentru a demonstra rezultatul. Există dovezi de paralelism care nu folosesc echivalența postulatului al cincilea.
  16. ↑ Greenberg, 1974 , p. 107.
  17. ↑ Dovada poate fi găsită în Heath ( Heath 1956 , Vol. 1, p. 313)
  18. ↑ De Morgan, 1849 .
  19. ↑ Heath, 1956 , p. Vol. 1, p. 314.
  20. ↑ The College Mathematics Journal, 42(5):372

Literatură