Axiomele lui Peano

Axiomele Peano sunt unul dintre sistemele de axiome pentru numere naturale , introduse în 1889 de matematicianul italian Giuseppe Peano .

Axiomele lui Peano au făcut posibilă formalizarea aritmeticii , demonstrarea multor proprietăți ale numerelor naturale și întregi și, de asemenea, utilizarea numerelor întregi pentru a construi teorii formale ale numerelor raționale și reale . Într-o formă prescurtată, axiomele lui Peano au fost folosite într-o serie de dezvoltări metamatematice , inclusiv pentru rezolvarea întrebărilor fundamentale despre consistența și completitudinea teoriei numerelor .

Peano a postulat inițial nouă axiome. Prima afirmă existența a cel puțin unui element din mulțimea numerelor. Următoarele patru sunt afirmații generale despre egalitate , reflectând logica internă a axiomaticii și excluse din compoziția modernă a axiomelor ca fiind evidente. Următoarele trei sunt axiome în limbajul logicii de ordinul întâi despre exprimarea numerelor naturale în termenii proprietății fundamentale a funcției de consecință . A noua și ultima axiomă din limbajul logicii de ordinul doi este despre principiul inducției matematice asupra unei serii de numere naturale. Aritmetica Peano este un sistem obținut prin înlocuirea axiomei de inducție cu un sistem de axiome în limbajul logicii de ordinul întâi și adăugarea de simboluri pentru operațiile de adunare și înmulțire.

Formulări

Verbal

1 este un număr natural;
Numărul care urmează naturalului este de asemenea un firesc;
1 nu urmează niciun număr natural;
Dacă un număr natural urmează direct atât numărului cât și numărului , atunci și sunt identice; $A$ $b$ $c$ $b$ $c$
(Axioma inducției .) Dacă se dovedește orice ipoteză pentru 1 (baza de inducție) și dacă presupunerea că este adevărată pentru un număr natural rezultă că este adevărată pentru următorul număr natural (presupoziție inductivă), atunci această ipoteză este adevărată pentru toate numerele naturale. $n$ $n$

Matematică

Formularea matematică folosește funcția de urmărire , care potrivește un număr cu numărul care îl urmează. $S x)$ $X$

$1\în\mathbb{N}$ ;
$x\in {\mathbb {N}}\Rightarrow S(x)\in {\mathbb {N}}$ ;
$\nexistă x\in \mathbb {N} \colon {\big (}S(x)=1{\big ))$ ;
${\big (}S(b)=a\wedge S(c)=a{\big )}\Rightarrow b=c$ ;
${\displaystyle P(1)\wedge \forall n{\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big )}\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} {\big (}P(n){\big )))$ .

Este posibilă și o altă formă de scriere:

$1\în\mathbb{N}$ ;
$S\colon {\mathbb {N}}\la {\mathbb {N}}\setminus \{1\}$ ;
$\exists S^{{-1}}$ ;
$1\in M\land \forall n\in \mathbb {N} {\big (}n\in M\Rightarrow S(n)\in M{\big )}\Rightarrow \mathbb {N} \ subset M$ .

Ultima afirmație poate fi formulată după cum urmează: dacă o anumită afirmație este adevărată pentru (baza de inducție) și pentru oricare dintre validitatea urmează validitatea și (presupoziție inductivă), atunci este adevărată pentru orice . $P$ $n=1$ $n$ $P(n)$ $P(S(n))$ $P(n)$ $n$

Formalizarea aritmeticii

Formalizarea aritmeticii include axiomele lui Peano și, de asemenea, introduce operațiile de adunare și înmulțire folosind următoarele axiome:

$x+1=S(x)$ ;
$x_{1}+S(x_{2})=S(x_{1}+x_{2})$ ;
$x\cdot 1=x$ ;
$x_{1}\cdot S(x_{2})=x_{1}\cdot x_{2}+x_{1)$ .

Despre incompletitudine

După cum sugerează teorema de incompletitudine a lui Gödel , există afirmații despre numerele naturale care nu pot fi nici demonstrate, nici infirmate din axiomele lui Peano. Unele dintre aceste afirmații au o formulare destul de simplă, cum ar fi teorema Goodstein sau teorema Paris-Harrington .

Categoric

Faptul fundamental este că aceste axiome determină în mod esențial în mod unic numerele naturale (natura categorială a sistemului de axiome ale lui Peano). Și anume, se poate demonstra (vezi [1] , precum și o scurtă demonstrație [2] ) că dacă și sunt două modele pentru sistemul de axiome lui Peano, atunci ele sunt neapărat izomorfe , adică există o mapare inversabilă ( bijecție ) astfel încât şi pentru toţi . $(\mathbb N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb N$

Prin urmare, este suficient să fixăm ca oricare model specific al mulțimii numerelor naturale. $\mathbb {N}$

De exemplu, din axioma inducției rezultă că este posibil să treci la orice număr natural dintr -un număr finit de pași (folosind funcția ). Pentru demonstrație, vom alege ca predicat însăși afirmația „se poate merge la un număr dintr -un număr finit de pași folosind funcția ”. corect . Acest lucru este și adevărat , deoarece poate fi obținut dintr -o singură aplicare a operației la un număr, care, prin presupunere , poate fi obținut dintr -un număr finit de aplicații . Conform axiomei inducţiei . $unu$ $S$ $P(n)$ $n$ $unu$ $S$ $P(1)$ ${\Big (}P(n)\Rightarrow P{\big (}S(n){\big )}{\Big ))$ $S(n)$ $n$ $S$ $P(n)$ $unu$ $S$ $\forall n(P(n))$

Istorie

Necesitatea formalizării aritmeticii nu a fost luată în serios până în lucrarea lui Hermann Grassmann , care a arătat în anii 1860 că multe fapte în aritmetică puteau fi stabilite din fapte mai elementare despre funcția de implicare și inducerea matematică. În 1881, Charles Sanders Peirce și-a publicat axiomatizarea aritmeticii numerelor naturale. Definiția formală a numerelor naturale a fost formulată în 1889 de matematicianul italian Peano , pe baza construcțiilor anterioare ale lui Grassmann, în cartea sa The Foundations of Arithmetic, Stated in a New Way ( lat. Arithmetices principia, nova methodo exposita ). În 1888 (cu un an înainte de Peano), Dedekind [3] a publicat un sistem axiomatic aproape exact similar . Consistența aritmeticii Peano a fost dovedită în 1936 Gentzen transfinită la ordinal . După cum rezultă din a doua teoremă de incompletitudine a lui Gödel , această demonstrație nu poate fi realizată prin intermediul aritmeticii Peano în sine. $\epsilon_{0}.$

Note

↑ Feferman S. Sisteme numerice. Bazele algebrei și analizei. - 1971. - 445 p.
↑ Dovada unicității numerelor naturale . Data accesului: 4 februarie 2011. Arhivat din original pe 22 august 2011. (nedefinit)
↑ N. Bourbaki . Bazele matematicii. Logice. Teoria seturilor // Eseuri despre istoria matematicii / I. G. Bashmakova (tradus din franceză). - M . : Editura de literatură străină, 1963. - S. 37. - 292 p. — (Elemente de matematică).

Literatură

Peano, G. Arithmetices principia, nova methodo exposita . Bocca, Torino, 1889.
Peano, G. Formulaire de mathematiques. Tomul II - Nr. 2. Bocca, Torino, 1897.
Arnold IV Aritmetică teoretică . M.: Uchpedgiz, 1938.