Algebră Temperley-Liba

Algebra Temperley - Lieb - algebra , cu ajutorul căreia se construiesc unele matrici de transfer. Descoperit de Neville Temperleyși Elliot Lieb . Algebra este aplicată în mecanica statistică , în teoria modelelor integrabile, este relevant pentru teoria nodurilor și grupurile de împletituri , grupurile cuantice și subfactorii algebrelor von Neumann .

Definiție

Fie un inel comutativ (cel mai adesea, câmpul numerelor reale ) în care elementul este fix . Algebra Temperley-Lieb se numește - o algebră formată din generatori care se supun relațiilor Jones : $R$ $\delta \in R$ $TL_{n}(\delta )$ $R$ $U_{1},U_{2},\ldots,U_{n-1)$

$U_{i}^{2}=\delta U_{i}$ la $1\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{i+1}U_{i}=U_{i}$ la $1\leq i\leq n-2$
$U_{i}U_{i-1}U_{i}=U_{i}$ la $2\leq i\leq n-1$
$U_{i}U_{j}=U_{j}U_{i}$ la , astfel încât $1\leq i,j\leq n-1$ $|ij|\neq 1$

$TL_{n}(\delta )$ poate fi reprezentat ca un spațiu vectorial , cu vectori de bază, fiecare fiind o diagramă sub formă de pătrat, pe două laturi opuse cărora există puncte. Punctele formează n perechi, fiecare pereche este conectată printr-o curbă și nu se intersectează două curbe. Cei cinci vectori de bază arată astfel: $n$ $TL_{3}(\delta )$

Înmulțirea a două elemente de bază are loc prin conectarea a două pătrate cap la cap, după ce fiecare ciclu rezultat dă un factor δ . De exemplu,

× = = δ .

Elementul unitate este o diagramă cu n linii orizontale, iar generatorul este o diagramă în care vârful i -lea este conectat la i + 1 -lea, 2n - i + 1 -lea punct - la 2n - i --lea . punct, iar toate celelalte puncte sunt legate de opuse. De exemplu, generatoarele sunt: $U_{i}$ $TL_{5}(\delta )$

De la stânga la dreapta: element identic (unul) și generatoare U 1 , U 2 , U 3 , U 4 .

Rapoartele Jones pot fi reprezentate grafic:

= δ

Link -uri

Louis H. Kauffman , Modelele de stat și polinomul Jones. Arhivat 8 decembrie 2019 la Wayback Machine Topology, 26(3):395-407, 1987.
RJ Baxter , Modele exact rezolvate în mecanica statistică Arhivat la 20 martie 2012 la Wayback Machine Academic Press Inc., 1982.
N. Temperley, E. Lieb , Relații între problema percolației și colorării și alte probleme graf-teoretice asociate rețelelor plane obișnuite: câteva rezultate exacte pentru problema percolației. Proceedings of the Royal Society Series A 322 (1971), 251-280.