Misiunea de grup

Specificarea unui grup în teoria grupurilor este una dintre metodele de definire a unui grup prin specificarea unui set generator și a unui set de relații între generatori . În acest caz, se spune că grupul are o sarcină . $S$ $R$ $G$ $\langle S\mid R\rangle$

În mod informal, are o astfel de sarcină dacă este „cel mai liber ” dintre toate grupurile generate și supuse relațiilor dintre elementele din . Mai formal, grupul este izomorf cu grupul de factori al grupului liber generat de închiderea normală a mulțimii de relații . $G$ $S$ $S$ $R$ $G$ $S$ $R$

Fiecare grup are o sarcină și, în plus, multe sarcini diferite; atribuirea este adesea cea mai compactă modalitate de a defini un grup.

Sarcinile de grup sunt studiate de o ramură specială a teoriei grupurilor - teoria grupurilor combinatorie .

Cel mai simplu exemplu de specificare a unui grup este specificarea unui grup de ordine ciclică : $n$

\langle a\mid a^{n}\rangle .

Aceasta înseamnă că orice element al grupului poate fi scris ca grad și este un element neutru al grupului. $A$ $a^{n)$

Definiții înrudite

Un grup finit dat (sau un grup finit definit ) este un grup care are un număr finit de generatoare și este definit în acești generatori printr-un număr finit de relații .
Un grup finit generat este un grup care are un număr finit de generatoare . Fiecare grup finit dat este finit generat.
Cardinalitatea minimă a setului de generatoare se numește rangul grupului . $S$
- $p$ Rangul unui grup este cel mai mare rang al subgrupului său, care este un
grup abelian primar . $p$

Terminologie

Termenul „ sarcină ” nu este complet comun. Unele cărți folosesc [1] [2] termenul „ cod de grup (genetic) ”. Puteți întâlni și conceptul de „ reprezentare de grup ” în sensul discutat aici [3] [4] [5] , acesta putând fi considerat o traducere din limba engleză. prezentarea grupului , totuși, este ambiguă, deoarece termenul reprezentare de grup este utilizat pe scară largă pentru așa-numitele reprezentări liniare ale grupurilor - acestea din urmă nu au nimic de-a face cu sarcina și, în plus, sunt într-un anumit sens opusul acesteia.

Având în vedere aceasta din urmă, sarcina este uneori denumită și „ prezentare ”. Mai precis, izomorfismul menționat mai sus al coeficientului unui grup liber în grupul luat în considerare poate fi numit o prezentare . Prefixul „ko-” indică dualitatea acestui izomorfism în raport cu reprezentarea grupului, „când, dimpotrivă, homomorfismul este construit nu „la” G, ci „din” G la unii [bine studiat] grup de operatori liniari, permutări etc. » [6] . $G$

Proprietăți

Există o teoremă conform căreia un grup arbitrar este un grup de factori al unui grup liber adecvat în raport cu un subgrup normal , astfel încât orice grup are o sarcină. Sarcina nu trebuie să fie singura. Este dificil să dovedești sau să infirmi că două sarcini definesc același grup (vechiul nume al problemei este una dintre problemele lui Dan). În general, această problemă este indecidabilă din punct de vedere algoritmic . Există mai multe clase de grupuri pentru care a fost construit un algoritm pentru rezolvarea acestei probleme. Transformările Tietze de patru tipuri vă permit să treceți de la o sarcină a grupului la alta: prima transformare Tietze este adăugarea unei relații noi derivate din cele vechi la setul de relații; a doua transformare Tietze este introducerea unei variabile noi exprimate in termenii celor vechi; a treia și a patra transformări Tietze sunt inverse primei și, respectiv, a doua. Având în vedere imposibilitatea algoritmică a problemei, găsirea unui lanț de transformări Tietze de la o reprezentare la alta este un fel de artă.

Având în vedere un grup, este, de asemenea, dificil să se determine alte proprietăți ale grupului, cum ar fi ordinea sau subgrupul de torsiune .

Exemple

Următorul tabel listează modalități de a specifica unele grupuri care apar frecvent. În fiecare caz, există și alte sarcini posibile.

grup	Exercițiu	Explicații
Grup gratuit pe S	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	Un grup liber este „liber” în sensul că nu este constrâns de nicio relație.
Z n este un grup ciclic de ordinul n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
D n este grupul diedric de ordinul 2 n	$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ sau $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$	r înseamnă rotație, s pentru simetrie
D ∞ este un grup diedric infinit	$\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$
Grupul de quaternioni Q 8	$\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1 \rangle$ sau $\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$
Grupul de cuaternioni generalizat Q 4 n	$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .$
grup abelian liber pe S	$\langle S\mid R\rangle$	R este mulțimea tuturor comutatoarelor elementelor S
Grupul simetric S n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\ sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$ sau $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ \|ij\| >1\rangle$	σ i este o transpunere care schimbă elementul i -lea cu i + 1.
Impletitura grupa B n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i }=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i} \ {\text{dacă}}\ \|ij\|>1\rangle$	Singura diferență față de grupul simetric este dispariția relațiilor . $\sigma _{i}^{2}=1$
Grupa alternativă A n	$\langle s_{3},...,s_{n}\|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3 \leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$	$s_{i}\la (12i)$
Grupul de rotație al tetraedrului , T ≅ A 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
Grupa de rotație octaedrului , O ≅ S 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
Grupa de rotație a icosaedrului , I ≅ A 5	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
grupul Coxeter	$\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$	r n sunt reflexii în fețele poliedrului, iar la , — dacă fețele nu formează un unghi diedru în poliedru $m_{ii}=1$ $m_{ij}\geqslant 2$ $i\neq j$ $m_{ij}=\infty$
Grupul triunghiular Δ( l , m , n )	$\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^ {m}=1\interval$	a , b , c - reflexii
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z / m Z × Z / n Z	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
SL(2, Z )	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$
GL(2, Z )	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$
Grup modular PSL(2, Z )	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z ) este produsul liber al lui Z /2 Z și Z /3 Z
Sânii Grupa F 4 (2)	$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}= (ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$	[ a , b ] - comutator

Vezi și

grup liber

Link -uri

↑ 1.3 // Algebră generală / Sub conducerea generală a lui L. A. Skornyakov. - M .: Știință. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1990. - T. 1. - 592 p.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentele teoriei grupurilor. — Lan, 2009.
↑ Bogopolsky O.V. Introducere în teoria grupurilor. - Moscova, Izhevsk: Institutul de Cercetare în Calculatoare, 2002.
↑ Lyndon R., Shupp P. Teoria grupurilor combinatorii. — M .: Mir, 1980.
↑ Magnus W., Karras A., Solitaire D. Teoria grupurilor combinatorii. Reprezentarea grupurilor în termeni de generatori și relații. — M .: Nauka, 1974.
↑ Olshansky A. Yu. § 4 // Geometria definirii relațiilor în grupuri. - M .: Știință. Ch. ed. Fiz.-Matematică. lit., 1989. - 448 p.