Câmp închis algebric

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 12 decembrie 2018; verificările necesită 3 modificări .

Un câmp închis algebric este un câmp în care fiecare polinom de grad diferit de zero are cel puțin o rădăcină . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$

Pentru orice domeniu, există o unică, până la izomorfism , închiderea sa algebrică, adică extensia sa algebrică , care este închisă algebric.

Proprietăți

Într-un câmp închis algebric, fiecare polinom de gradul n are exact n (multiplicitatea numărului) rădăcini în . Cu alte cuvinte, fiecare polinom ireductibil dintr-un inel polinomial are gradul 1. Vezi și teorema lui Bézout . $\mathbb {K}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K} [x]$
Câmpurile finite nu pot fi închise algebric. Într-adevăr, se poate considera un polinom de grad finit ale cărui rădăcini sunt toate elementele câmpului. Dacă i se adaugă 1 , atunci polinomul rezultat nu va avea rădăcini.
Închiderea algebrică a câmpului numerelor reale este câmpul numerelor complexe . Închiderea sa algebrică este stabilită de teorema fundamentală a algebrei .
Închiderea algebrică a câmpului numerelor raționale este câmpul numerelor algebrice .
Câmpul numerelor aritmetice este închis algebric.

Constructii

O posibilă construcție a unei închideri algebrice pentru un câmp arbitrar a fost construită de Emil Artin .

Să fie dat câmpul . Este necesar să se construiască o închidere algebrică a acestui câmp. $\mathbb {K}$

Definiți ca mulțimea tuturor polinoamelor ireductibile din câmp . Fiecare polinom este asociat cu o variabilă . Se notează prin mulțimea tuturor acestor variabile . Formăm un inel de polinoame . Se poate arăta că idealul generat de toate polinoamele formei nu este unic. Apoi putem trece la idealul maxim care conține idealul (aici folosim axioma alegerii ) și obținem câmpul . Dacă identificăm polinoamele constante cu elementele câmpului principal, atunci obținem . $F\subset \mathbb {K} [x]$ $\mathbb {K}$ $x_{f)$ $X$ $X=\{x_{f}|f\în F\}$ $\mathbb {K} [X]$ $eu$ $f(x_{f})$ $eu$ $eu$ $\mathbb {K_{1}}=\mathbb {K} [X]/I'$ $\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}}$

Un câmp poate fi privit ca un câmp obținut prin adăugarea la câmp a unei rădăcini a fiecărui polinom ireductibil. Pentru a atașa restul rădăcinilor, trebuie să repetați această construcție. Repetați-l pentru câmp și obțineți câmpul . Repetând acest lucru odată, puteți obține câmpul . Astfel, avem un turn de câmpuri : $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K}$ $\mathbb {K_{1}}$ $\mathbb {K_{2}}$ $n$ $\mathbb {K_{n}}$

\mathbb {K} \subset \mathbb {K_{1}} \subset \mathbb {K_{2}} \subset \ldots \subset \mathbb {K_{n)} \subset \mathbb {K_{n } +1}} \subset \ldots

Combinarea tuturor acestor câmpuri va da câmpul . Închiderea algebrică a acestui câmp este evidentă. [unu] $\mathbb {K_{\infty })=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbb {K_{n)}$

Vezi și

Note

↑ Leng S. Algebră. — M.: Mir, 1968.