Polinom ireductibil

Un polinom ireductibil este un polinom care nu poate fi descompus în polinoame netriviale (adică nu constante). Polinoamele ireductibile sunt elemente ireductibile ale unui inel polinomial .

Proprietatea de ireductibilitate depinde de inelul (câmpul) de coeficienți (vezi secțiunea exemple).

Definiție

Un polinom în variabile peste un câmp se spune că este ireductibil peste un câmp dacă este un element simplu al inelului , adică nu este o constantă și nu poate fi reprezentat ca un produs , unde și sunt polinoame cu coeficienți din , care sunt diferite de constante. $p(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $n$ $k$ $k$ $k[x_{1},x_{2},...,x_{n}]$ $p=qr$ $q$ $r$ $k$

Un polinom care este ireductibil peste un inel integral este definit în mod similar .

Se spune că un polinom este absolut ireductibil dacă este ireductibil peste închiderea algebrică a câmpului de coeficienți. Polinoamele absolut ireductibile ale unei variabile sunt polinoame de gradul I și numai ele. În cazul mai multor variabile, există polinoame absolut ireductibile de grad arbitrar ridicat - de exemplu, orice polinom de forma

p(x_{1},x_{2},...,x_{{n-1}})+x_{n}

absolut ireductibil.

Rădăcinile unui polinom ireductibil se numesc conjugate .

Proprietăți

Inelul polinom este factorial : orice polinom se descompune într-un produs de polinoame ireductibile, iar această descompunere este definită în mod unic până la factorii constanți și ordinea factorilor. $k[x_1,x_2...,x_n]$
În câmpul numerelor reale, orice polinom ireductibil dintr-o variabilă are gradul 1 sau 2, iar un polinom de gradul 2 este ireductibil dacă și numai dacă are un discriminant negativ . Într-adevăr, orice polinom real care nu are rădăcini reale (ceea ce este posibil doar pentru grade pare) are cel puțin o rădăcină pur complexă , iar atunci rădăcina acestui polinom este elementul conjugat la această rădăcină ; prin urmare, acest polinom este divizibil cu polinomul real , care pentru un polinom de gradul 3 sau mai mare înseamnă reductibil. $z$ ${\overline {z}}\neq z$ $(xz)(x-{\overline {z)))$
Peste orice câmp de numere algebrice există un polinom ireductibil de orice grad predeterminat; de exemplu, polinomul , unde și este un număr prim, este ireductibil datorită criteriului Eisenstein . $x^{n}+px+p$ $n>1$ $p$
Un polinom ireductibil peste un câmp cu caracteristica 0 nu poate avea rădăcini multiple nici în acest câmp, nici în oricare dintre extensiile sale.
Dacă este un câmp finit de elemente și este un număr natural, atunci există cel puțin un polinom ireductibil de grad n din . $k=F_{q}$ $q$ $n$ $k[x]$
Să presupunem că este un inel închis integral cu un câmp de coeficienti (de exemplu , și ) și este un polinom al unei variabile cu coeficientul de conducere 1, apoi în , și și au coeficientul de conducere 1, apoi . $A$ $k$ $A=\mathbb{Z}$ $k={\mathbb Q}$ $p\în A[x]$ $p=qr$ $k[x]$ $q$ $r$ $q,r\în A[x]$
Criteriul de reducere pentru ireductibilitate. Să fie dat un homomorfism al domeniilor de integritate . Dacă gradul polinomului coincide cu gradul polinomului și este ireductibil în câmpul de câte , atunci nu există descompunere unde și sunt diferite de o constantă. $\sigma :A\la B$ $\sigma (p)$ $p$ $\sigma (p)$ $B$ $p=qr$ $p,r\în A[x]$
- De exemplu, un polinom cu un coeficient principal este simplu în (și deci ireductibil în ) dacă polinomul obținut din reducerea coeficienților modulo un număr prim este simplu. $p$ $unu$ $\mathbb {Z} [x]$ ${\mathbb Q}[x]$ $\sigma (p)$ $p$

Exemple

Următoarele cinci polinoame demonstrează unele proprietăți elementare ale polinoamelor ireductibile:

p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2))

p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}

p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)

p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2)))(x+{\sqrt {2)))

p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(xi)(x+i)}

, unde .

i^{2}

={-1}

Peste inelul numerelor întregi, primele două polinoame sunt reductibile, ultimele două sunt ireductibile. (Al treilea nu este deloc un polinom peste numere întregi). $\mathbb {Z}$

În câmpul numerelor raționale, primele trei polinoame sunt reductibile, celelalte două sunt ireductibile. $\mathbb {Q}$

În câmpul numerelor reale, primele patru polinoame sunt reductibile, dar sunt ireductibile. În domeniul numerelor reale, polinoamele liniare și polinoamele pătratice fără rădăcini reale sunt ireductibile. De exemplu, expansiunea unui polinom în câmpul numerelor reale are forma . Ambii factori din această expansiune sunt polinoame ireductibile. $\mathbb {R}$ $p_{5}(x)$ $x^{4}+1$ $(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1)$

În domeniul numerelor complexe, toate cele cinci polinoame sunt reductibile. De fapt, fiecare polinom neconstant poate fi factorizat sub forma: $\mathbb {C}$ $p(x)$ $\mathbb {C}$

p(x)=a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})

unde este gradul polinomului , este coeficientul conducător, sunt rădăcinile lui . Prin urmare, singurele polinoame ireductibile peste sunt polinoamele liniare ( Teorema fundamentală a algebrei ). $\n$ $\A$ $\ z_{1},\ldots ,z_{n}$ $\p(x)$ $\mathbb {C}$

Câmpuri de sfârșit

Polinoamele cu coeficienți întregi care sunt ireductibili într-un câmp pot fi reductibile într- un câmp finit . De exemplu, polinomul este ireductibil peste , dar peste un câmp de două elemente avem: $\mathbb {Q}$ $x^{2}+1$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {F} _{2}$

(x^{2}+1)=(x+1)^{2}.

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebră. — M .: Mir, 1976. — 648 p.
Leng S. Algebră. — M .: Mir, 1968.
Zarissky O., Samuel P. Algebră comutativă. — M .: IL, 1963.