Spațiu antidezitter

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 29 mai 2022; verificările necesită 122 de modificări .

Spațiul anti-de Sitter este o varietate pseudo-riemanniană de curbură negativă constantă . Poate fi considerat un analog pseudo-riemannian al spațiului hiperbolic dimensional . Numit spre deosebire de spațiul de Sitter , denumit în mod obișnuit $n$ $Anunțuri_{n}$

Spațiul AdS joacă un rol foarte important în relativitatea generală , deoarece apare ca o soluție maxim simetrică a ecuațiilor Einstein în vid cu o constantă cosmologică negativă : $\lambda$

R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R-\Lambda g_{\mu \nu }=0

Definiția AdS ca suprafață de încorporare

Spațiul poate fi încorporat într-un spațiu plat [1] . Această încorporare arată ca un hiperboloid cu o singură foaie dat de ecuația: $AdS_{d+1}$ $\mathbb {R} ^{2,d)$

-y_{0}^{2}+\sum _{i=1}^{d}y_{i}^{2}-y_{d+1}^{2}=-R^{2 }

( 1 )

unde metrica din spațiul ambiental este dată ca: $\mathbb {R} ^{2,d)$

ds^{2}=-(dy_{0})^{2}+\sum _{i=1}^{d}(dy_{i})^{2}-(dy_{d+1 })^{2}=\eta _{\mu \nu }dy^{\mu }dy^{\nu },

\eta _{\mu \nu }={\text{diag}}(-1,+1,...,+1,-1),

iar constanta R este raza spațiului . Este exprimată în termeni de constantă cosmologică din ecuația Einstein : $AdS_{d+1}$ $\lambda$

\Lambda =-{\frac {d(d-1)}{2R^{2)}}.

( 2 )

Încorporarea de mai sus servește ca o definiție standard a spațiului , care este implicată mai târziu în text [2] . Ecuația ( 1 ) este păstrată în timpul rotațiilor în spațiul ambiental. Ca urmare, grupul este izomorf cu grupul de izometrii (transformări care nu modifică distanța) spațiului . Această proprietate joacă un rol foarte important în corespondența AdS/CFT în teoria corzilor , deoarece un grup este un grup de transformări conforme în spațiul Minkowski cu patru dimensiuni. $\mathbb {R} ^{2,d)$ $AdS_{d+1}$ $SO(2,d)$ $AdS_{d+1}$ $SO(2,4)$

Definiția AdS ca spațiu omogen

Există, de asemenea, o modalitate topologică de a defini un spațiu ca spațiu omogen, i.e. ansamblu de puncte cu acţiune tranzitivă distinsă a unui grup asupra acestuia. În cazul spațiilor maxim simetrice (adică spații omogene și izotrope), este un grup de izometrii care determină complet topologia unor astfel de spații [3] De exemplu, în cazul unei sfere bidimensionale, există un natural încorporarea în . Restricționând acțiunea grupului de rotație în este clar că pentru fiecare punct stabilizatorul este grupul , i.e. rotaţiile în planul tangent la punct nu modifică poziţia punctului . Rezultă că spațiul unei sfere bidimensionale poate fi definit ca raportul a două grupuri ortogonale [4] : $AdS_{d+1}$ $G$ $G$ $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $O(3)$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S^{2}$ $x\in S^{2}$ ${\text{Stab}}(x)=O(2)$ $S^{2}$ $X$ $X$

S^{2}={\frac {O(3)}{O(2)))

Argumentând în mod similar atunci când încorporăm spațiul în , putem defini spațiul AdS ca raportul a două grupuri ortogonale generalizate: $AdS_{d+1}$ $\mathbb {R} ^{2,d)$

AdS_{d+1}={\frac {O(2,d)}{O(1,d))}

Proprietățile generale ale valorii spațiului AdS

Există multe moduri de a scrie (parametriza) metrica spațiului AdS. Toate sunt soluții diferite ale ecuației de încorporare ( 1 ). Pentru spații cu curbură constantă, este obișnuit să se reprezinte metrica într-o formă conform plată [5] :

ds^{2}=f(x^{2})\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu )

unde , , este o funcție de semn constant. De exemplu, ecuația de încorporare ( 1 ) poate fi rezolvată prin introducerea de coordonate locale pe AdS corespunzătoare cartografierii (proiecție stereografică): $f(x^{2})$ $x^{2}=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu )$ $x^{1},...,x^{d+1}$

y^{0}=R{\frac {R^{2}+x^{2}}{R^{2}-x^{2)))

y^{\mu }=R{\frac {2Rx^{\mu }}{R^{2}-x^{2)))

Unde

x^{2}=(x^{1})^{2}+...(x^{d})^{2}-(x^{d+1})^{2}\ neq R^{2}

\mu =1,...,d+1

ceea ce duce la binecunoscuta parametrizare a metricii spațiului AdS ca spațiu hiperbolic tipic (vezi, de exemplu, [5] ):

ds^{2}={\frac {4\eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }}{(1+K_{0}\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu })^{2))}.

Aici

K_{0}=-{\frac {1}{R^{2)}}

este o curbură în secțiune constantă [6] . Conform Lemei Schur (geometria Riemanniană) , tensorul Riemann al spațiilor de curbură constantă este exprimat prin : $K_{0}$

R_{\mu \nu \rho \sigma}=K_{0}(g_{\mu \rho}g_{\nu \sigma }-g_{\nu \rho }g_{\mu \sigma}) .

De aici se pot obține expresii pentru tensorul Ricci și curbura scalară a spațiului : $R_{\mu \nu }$ ${\cal {R}}$ $AdS_{d+1}$

R_{\mu \nu }=g^{\rho \sigma}R_{\rho \mu \sigma \nu }=(K_{0}d)g_{\mu \nu },

{\cal {R}}=g^{\mu \nu }R_{\mu \nu }=d(d+1)K_{0}.

După cum se poate observa din ( 2 ), curbura non-nulă a spațiului y- dimensional apare datorită constantei cosmologice non-nule din ecuațiile Einstein: $K_{0}$ $(d+1)$ $\lambda$

\Lambda ={\frac {d(d-1)}{2}}K_{0}

Se poate arăta că tensorul Weil al spațiului AdS dispare [7] . Pentru dimensiuni , aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru ca spațiul să fie uniform plat. În reprezentarea de mai sus, metrica are o singularitate de coordonate; ca urmare, această grilă de coordonate nu acoperă întreaga varietate. O proprietate similară are loc pentru majoritatea celorlalte acoperiri. Cele mai cunoscute acoperiri ale spațiului AdS sunt prezentate mai jos. $d\geq 4$

Coordonatele globale pe AdS d+1

În aplicațiile fizice, soluția generală a ecuației ( 1 ) în următoarea formă este mai convenabilă:

y^{0}={\sqrt {\rho ^{2}+R^{2))}\cdot \sin {\frac {t}{R)),

y^{d+1}={\sqrt {\rho ^{2}+R^{2))}\cdot \cos {\frac {t}{R)),

( 3 )

y^{i}=\rho \cdot {\hat {n_{i)}},

unde exprimă partea unghiulară a coordonatelor hipersferice definite de condiția: ${\pălărie {n_{i)})$

\sum _{i=1}^{d}(y^{i})^{2}=\rho ^{2}\Rightarrow \sum _{i=1}^{d}({\ pălărie {n_{i}}})^{2}=1

De exemplu, pentru d=3:

y^{1}=\rho \cdot \cos \theta

y^{2}=\rho \cdot \sin \theta \cos \phi

y^{3}=\rho \cdot \sin \theta \sin \phi

În ceea ce privește coordonatele de încorporare ( 3 ), metrica spațiului ia forma: $AdS_{d+1}$

ds_{AdS_{d+1}}^{2}={\frac {d\rho ^{2}}{1+{\frac {\rho ^{2}}{R^{2}} ))}+\rho ^{2}d\Omega _{d-1}^{2}-\left(1+{\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}\right )dt^{2},

( 4 )

unde este pătratul diferenţialului unghiular solid pe . De exemplu, pentru d=3: $d\Omega _{d-1}^{2)$ $S^{d-1}$

d\Omega _{2}^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}.

În termeni generali, datorită , putem scrie: $\sum \limits _{i=1}^{d}{\hat {n_{i}}}d{\hat {n_{i}}}=0$

d\Omega _{d-1}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{d}d{\hat {n_{i))}^{2}.

Ecuația ( 4 ) arată că metrica introdusă are o scară caracteristică a lungimii , i.e. raza spațiului determină nu numai curbura, ci și scara distanțelor spațiului luat în considerare. În același timp, din ( 3 ) se poate observa că din punct de vedere topologic , care corespunde unui hiperboloid cu o singură foaie (Fig.1). $R$ $AdS_{d+1}$ $AdS_{d+1}\aprox S^{1}\times R^{d)$

După schimbarea variabilelor:

t\rightarrow tR,

{\frac {\rho {R}}=\operatorname {tg} \chi ,

0\leqslant \chi <{\frac {\pi }{2)),

metrica ( 4 ) ia forma:

ds_{AdS_{d+1}}^{2}={\frac {R^{2}}{\cos ^{2}\chi }}\left(dt^{2}-d\chi ^{2}-\sin ^{2}\chi d\Omega _{d-1}^{2}\right)

( 5 )

Aici se schimbă semnul metricii spațiului înconjurător (împreună cu semnul ecuației ( 1 )). În metrica ( 5 ) apare o compactare a spațiului de-a lungul coordonatei radiale , deoarece noua coordonată radială trece printr-un interval finit de valori: $AdS_{d+1}$ $\chi$

{\frac {\rho {R}}\rightarrow \infty ,

\chi \rightarrow {\frac {\pi {2)).

Este adesea mai convenabil să introduceți coordonatele radiale în ( 5 ) prin substituție inversă,

{\frac {\rho {R}}=\chi ,

și luați în considerare metrica:

ds_{AdS_{d+1}}^{2}={\frac {R^{2}}{\cos ^{2}\left({\frac {\rho} {R}}\right )}}\left(dt^{2}-{\frac {d\rho ^{2}}{R^{2}}}-\sin ^{2}\left({\frac {\rho }{ R}}\right)d\Omega _{d-1}^{2}\right).

( 6 )

Aici nu are legătură cu în metrica ( 4 ). Metrica ( 6 ), în condiția , , este complet echivalentă cu metrica ( 5 ). O metrică de forma ( 6 ) se numește globală [8] . În această parametrizare, este convenabil să se pună și să se reprezinte (local) ca un cilindru cu axa de simetrie care coincide cu axa timpului și coordonata radială , așa cum se arată în Fig.2. ${\frac {\rho {R)}$ ${\frac {\rho {R)}$ ${\frac {\rho {R}}\in [0;{\frac {\pi }{2)}}$ $t\in (-\infty ;\infty )$ $R=1$ $AdS_{d+1}$ $\rho \in [0;{\frac {\pi }{2)})$

Din faptul că metrica ( 6 ) este indusă în (semnul metricii spațiului ambiental este schimbat), putem stabili o legătură cu coordonatele de încorporare: $\mathbb {R} ^{d,2}$

y^{0}=R{\frac {\cos t}{\cos({\frac {\rho}}R))))),

y^{d+1}=R{\frac {\sin t}{\cos({\frac {\rho}}{R})))),

( 7 )

y^{i}=R\;\operatorname {tg} ({\frac {\rho} {R)))\cdot {\hat {n_{i)}}.

În ceea ce privește coordonatele globale din partea dreaptă a ( 7 ), simetriile globale sunt văzute în următoarele simetrii: există rotații în jurul , 1 rotație în planul timpului și în cele din urmă creșteri corespunzătoare combinațiilor de și cu axe asemănătoare spațiului . În același timp, împreună aceste transformări formează un grup . $AdS_{d+1}$ ${\frac {1}{2}}d(d-1)$ $y^{i},\;1\leqslant i\leqslant d$ $(y^{0},y^{d+1})$ $2d$ $y^{0}$ $y^{d+1}$ $d$ $y^{i}$ $SO(2,d)$

Adesea se dovedește a fi convenabilă o altă formulare a metricii globale pe , obținută prin următoarea modificare a coordonatelor din ( 6 ): $AdS_{d+1}$

dk={\frac {d({\frac {\rho}}R))}} {\cos({\frac {\rho} {R}))}),\;\Rightarrow k=\ int {\frac {d({\frac {\rho {R)))}{\cos({\frac {\rho}}{R))))),

care duce ( 6 ) la forma:

ds^{2}=R^{2}\left(\operatorname {ch} ^{2}(k)dt^{2}-dk^{2}-\operatorname {sh} ^{2} (k)d\Omega _{d-1}^{2}\dreapta)

De asemenea, această vedere poate fi obținută direct din coordonatele de imbricare ( 3 ). Această expresie este o metrică globală în formă hiperbolică, iar punctul din această metrică nu este singular și [9] $AdS_{d+1}$ $k=0$ $k\in [0;\infty )$

Coordonatele Poincaré pe AdS

Luarea în considerare a spațiului AdS în coordonate globale este complicată din punct de vedere fizic, deoarece timpul în coordonate globale este ciclic, așa cum se poate vedea din ( 7 ). De fapt, când AdS înseamnă soluția corespunzătoare a ecuațiilor Einstein în spațiul gol, trebuie să se înțeleagă întotdeauna că coordonata timpului este derulată , altfel apar probleme de cauzalitate (existența ciclurilor de timp închise). Această subtilitate distinge abordarea fizică a spațiului AdS de cea pur matematică. Această subtilitate poate fi evitată prin utilizarea unor acoperiri speciale de coordonate globale care descriu doar o parte a spațiului AdS. Cea mai utilizată acoperire universală a coordonatelor globale în AdS este trecerea la coordonatele Poincaré (Poincare Patch). Rolul special al acestor coordonate este că tocmai în această parametrizare apare spațiul AdS în binecunoscuta corespondență AdS/CFT în teoria corzilor.

Coordonatele Poincaré ale AdS (E) d+1 (versiune euclidiană)

Să facem o rotație Wick pentru coordonată și să introducem coordonatele conului de lumină în semnătura euclidiană: $y^{d+1}:y^{d+1}\rightarrow iy^{d+1}$

U=y^{0}+y^{d+1},

( 8 )

V=y^{0}-y^{d+1}.

Să numim versiunea euclidiană a locului punctelor: $AdS_{d+1}$

y_{E}^{2}=(y^{0})^{2}-(y^{d+1})^{2}-{\overline {y))^{2}= UV-{\overline {y}}^{2}=R^{2},

( 9 )

{\overline {y}}^{2}=\sum \limits _{i=1}^{d}(y^{i})^{2}.

Aceasta înseamnă că pentru fix poate fi reprezentat ca un hiperboloid cu două foi în plan . În continuare, luați în considerare următoarea schimbare de coordonate: $AdS_{d+1}^{\text{(E))}$ ${\overline {y)}$ $(y^{0},y^{d+1})$

\zeta ^{\alpha }={\frac {y^{\alpha }}{U)),\;(\alpha =1..d),

( 10 )

{\overline {\zeta }}^{2}=\sum _{\alpha =1}^{d}(\zeta ^{\alpha })^{2}.

O astfel de modificare la ne permite să scriem ecuația de încorporare ( 9 ) sub forma: $U\neq 0$

y_{E}^{2}=UV-{\overline {y}}^{2}=UV-U^{2}{\overline {\zeta }}^{2}=R^{2 },

\Rightarrow V={\overline {\zeta }}^{2}U+{\frac {R^{2}}{U}}.

( 11 )

Astfel, este posibilă parametrizarea întregului spațiu cu : $AdS_{d+1}^{\text{(E))}$ $(U,\zeta ^{\alpha })$

dV=2U\zeta ^{\alpha }d\zeta ^{\alpha }+\zeta ^{2}dU-{\frac {R^{2}dU}{U^{2)}},

dy^{\alpha }=Ud\zeta ^{\alpha }+{\overline {\zeta }}^{\alpha }dU.

( 12 )

Metrica din spațiul ambiental în termeni de , ținând cont de ( 9 ), poate fi scrisă ca: $(U,\zeta ^{\alpha })$

ds_{\text{emb)}^{2}=dUdV-(d{\overline {y)))^{2}=(dy^{0})^{2}-(dy^{d +1})^{2}-(d{\overline {y)))^{2}.

Și metrica indusă este obținută în mod standard din ( 12 ), ținând cont de conexiunea ( 11 ) și schimbând semnul: $AdS_{d+1}^{\text{(E))}$

ds_{AdS_{d+1}^{\text{(E)}}}^{2}={\frac {R^{2}(dU)^{2}}{U^{2} ))+U^{2}d{\overline {\zeta }}^{2}.

( 13 )

Și, de asemenea, metrica ( 13 ) va lua forma:

dS^{2}={\frac {1}{(\zeta ^{0})^{2}}}(R^{2}(d\zeta ^{0})^{2}+ d{\overline {\zeta }}^{2}).

Înlocuiri ulterioare și conduc la metrica: $\zeta ^{i}={\frac {r^{i}}{R}}$ $\zeta ^{0}={\frac {z}{R^{2)}}$

dS_{\text{EPP}}^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}+d{\overline {r}}^ {2}).

( 14 )

Metrica ( 14 ) este o expresie a metricii în coordonatele Poincare - așa-numitul Euclidean Poincare Patch (EPP) - și este o acoperire universală a spațiului . Nu este dificil să se stabilească o legătură între coordonatele globale din semnătura euclidiană, coordonatele Poincaré și coordonatele spațiului înconjurător. Folosind ecuațiile ( 8 ), ( 10 ) și ( 11 ), ținând cont de modificările efectuate, găsim: $AdS_{d+1}^{\text{(E))}$ $AdS_{d+1}^{\text{(E))}$

y^{i}={\frac {r^{i}}{z}}R,\;(i=1..d),

y^{0}+y^{d+1}={\frac {R^{2}}{z)),

y^{0}-y^{d+1}={\frac {r^{2}}{z}}+z.

Conexiune necesară:

y^{0}=R{\frac {\operatorname {ch} \tau }{\cos({\frac {\rho} {R)}}))={\frac {1}{2} }\left({\frac {z^{2}+r^{2}+R^{2}}{z}}\right),

y^{d+1}=R{\frac {\operatorname {sh} \tau }{\cos({\frac {\rho} {R})))))={\frac {1} { 2}}\left({\frac {z^{2}+r^{2}-R^{2}}{z}}\right),

( 15 )

y^{i}=R\;\operatorname {tg} \left({\frac {\rho} {R))\right)\cdot {\hat {n_{i)}}={\frac {R}{z}}r^{i}.\;(z>0)

În timpul euclidian nu este deja ciclic în coordonatele globale, totuși, aceste coordonate Poincaré pot fi extinse analitic la semnătura lorentziană a spațiului ambiental, care este prezentată mai jos. Din prima ecuație din ( 15 ) se poate observa că , iar granița corespunde punctului . Relațiile ( 15 ) sunt ilustrate schematic în Fig.3. $\tau=it$ $y^{0}>0$ $z=0$ $AdS_{d+1}^{\text{(E))}$

În semnătura euclidiană, coordonatele Poincare, ținând cont de partea , descriu întreg spațiul AdS și, în acest sens, sunt echivalente cu coordonatele globale. După cum se arată mai jos, semnătura lorentziană este caracterizată de o îngustare a regiunii descrise în coordonatele Poincaré. Acest lucru se datorează faptului că timpul în coordonatele globale este ciclic, spre deosebire de timpul euclidian . $z<0$ $^{\text{(E))}$ $\tau$

Coordonatele Poincaré în AdS d+1

Coordonatele Poincaré pentru sunt definite în același mod ca pentru AdS . Schimbând ușor notația și scrieți ecuația de încorporare sub forma: $AdS_{d+1}$ $^{\text{(E))}$

(y^{d+1}-y^{d})(y^{d+1}+y^{d})-\sum _{i=1}^{d-1}(y ^{i})^{2}+(y^{0})^{2}=R^{2},

( 16 )

este posibil, urmând raționamentul paragrafului anterior, să se introducă analogi ale coordonatelor conului de lumină și să se rescrie ( 16 ) sub forma: $U$ $V$

y_{L}^{2}=UV-g_{\mu \nu }y^{\mu }y^{\nu }=R^{2},

( 17 )

unde , iar indicii variază peste valori . Să introducem coordonate noi: $g_{\mu \nu }={\text{diag)}(-1,1,..,1)$ ${\mu ,\nu }=0,1,..,d-1$

\zeta ^{\alpha }={\frac {y^{\alpha }}{U)),\;(\alpha =0,...,d-1),

{\overline {\zeta ^{2}}}=\sum _{\alpha =1}^{d-1}(\zeta ^{\alpha })^{2}-(\zeta ^{ 0})^{2}=g_{\mu \nu }\zeta ^{\mu }\zeta ^{\nu }.

În plus, repetând complet argumentele ( 11 )-( 14 ) și alegând , , ajungem la metrica în coordonatele Poincaré: $\zeta ^{i}={\frac {x^{i}}{R));\;(i<d)$ $\zeta ^{0}={\frac {x^{0}}{R}}={\frac {t}{R}}$ $AdS_{d+1}$

ds_{\text{PP}}^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}+dx^{\mu }dx_{\ mu}),

( 18 )

x^{\mu }x_{\mu }=g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\sum _{i=1}^{d-1}( x^{i})^{2}-t^{2},

(z>0),

unde acum indică timpul în coordonatele Poincaré. Mai mult, pentru a nu fi confundat cu timpul în coordonatele globale, acesta din urmă va fi notat ca . Relațiile dintre coordonatele globale de încorporare și coordonatele Poincaré pentru , similar relațiilor ( 15 ), sunt scrise ca: $t$ $t$ $\tau$ $AdS_{d+1}$

y^{0}=R{\frac {\sin \tau }{\cos({\frac {\rho} {R)})))={\frac {R}{z))x^ {0}={\frac {R}{z}}t,

y^{i<d}=R\;\operatorname {tg} ({\frac {\rho} {R)))\cdot {\hat {n_{i)}}={\frac {R {z}}x^{i},

( 19 )

y^{d}=R\;\operatorname {tg} ({\frac {\rho} {R)))\cdot {\hat {n_{d)}}={\frac {z}{ 2}}\left(1-{\frac {R^{2}-x^{\mu }x_{\mu }}{z^{2}}}\right),

y^{d+1}=R{\frac {\cos \tau }{\cos({\frac {\rho} {R)}}))={\frac {z}{2)} \left(1+{\frac {R^{2}+x^{\mu }x_{\mu }}{z^{2}}}\right).

Aceste ecuații se rezolvă relativ în termeni de , în care este convenabil să se facă substituția ( ): $(t,z,x^{i})$ $(\tau,\rho,{\hat {n_{i))})$ ${\frac {\rho {R)}\rightarrow \rho$

t=R{\frac {\sin \tau }{{\hat {n_{d)}}\sin \rho -\cos \tau )),

z=R{\frac {\cos \rho }{{\hat {n_{d)}}\sin \rho -\cos \tau )),

( 20 )

x^{i}=R{\frac {{\hat {n_{i)}}\sin \rho}({\hat {n_{d)}}\sin \rho -\cos \tau} }.

Din aceste relații rezultă că la , timpul global ia acum valori pe un interval finit (vezi Fig.4). $t\rightarrow \pm \infty$ $\tau$

Este important de menționat că în semnătura euclidiană, coordonatele Poincaré acoperă întregul spațiu AdS , precum și coordonatele globale (acest lucru se poate observa din prezența funcțiilor hiperbolice în relații ( 15 ). Totuși, în semnătura lorentziană, Coordonatele Poincaré acoperă doar un mic subdomeniu al întregului AdS, delimitat de rombul cauzal înfășurat în jurul cilindrului AdS (vezi Fig. 4) În general, coordonatele globale pentru sunt transformate (izometric) în funcție de reprezentările subgrupului de grupul , iar în coordonatele Poincaré ( 18 ) devin evidente grupul Poincaré -dimensional și dilatările (întinderea tuturor coordonatelor simultan cu o cantitate) . $^{\text{(E))}$ $AdS_{d+1}$ $SO(2)\times SO(d)$ $SO(2,d)$ $d$

Transformări conforme speciale în coordonatele Poincare

În plus față de dilatații , care sunt o simetrie evidentă a metricii ( 18 ), există transformări de coordonate infinitezimale mai puțin evidente în algebra izometrică ( 18 ): $(x^{\mu },z)\to (\lambda x^{\mu},\lambda z)$

x^{\mu }\to x^{\prime \mu }=x^{\mu }+(x^{\nu }x_{\nu }-z^{2})b^{\ mu }-2(b^{\nu }x_{\nu })x^{\mu },

( 21 )

z\to z^{\prime }=z-2(b^{\nu }x_{\nu })z.

Aici există un mic vector aflat în subspațiul Poincaré (adică coordonatele vectorului în direcția este egală cu zero: ) în coordonatele Poincaré. Izometricitatea acestei transformări poate fi verificată prin substituție directă. Partea Poincaré a transformării ( 21 ) coincide cu definirea unei transformări conforme speciale pe o varietate conformă de dimensiune , dar transformările asociate coordonatei , precum și numărul de componente vectoriale, nu permit definirea acestora ca fiind conforme speciale. transformări în plasturele Poincaré . Patch-ul dat pentru este astfel o varietate Riemanniană cu o algebră izometrică puțin mai complexă decât spațiul Minkowski. $b^{\mu )$ $b$ $z$ $b_{z}=0$ $AdS_{d+1}$ $d$ $z$ $b^{\mu )$ $AdS_{d+1}$ $AdS_{d+1}$

Limita conformă a spațiului AdS

Problema limitei spațiului AdS necesită o discuție separată. Spațiul AdS nu este o varietate cu graniță în sensul standard (când vecinătățile graniței sunt difeomorfe față de vecinătățile punctelor de la limita unui semi-spațiu euclidian). Limita menționată mai jos este așa-numita graniță conformă obținută prin compactarea conformă spațiu-timp.

În construcția de compactare conformă, varietatea luată în considerare este mapată la interiorul unei varietăți compacte cu graniță, iar apoi granița acestei mapări este numită granița conformă a varietății originale . În planul aplicat , metrica este înmulțită cu un factor comun, astfel încât în noua metrică distanța de la orice punct la toate punctele limită este finită. În spațiul plat, limita conformă este redusă doar la un punct. În cazul spațiilor hiperbolice, cărora le aparține și AdS, limita conformă este netrivială și conține informații importante. $(N,g)$ $(M,g)$ $\partial \Phi (N,g)$ $N$

Limită AdS în coordonate globale

Să revenim la ecuația ( 17 ) și să introducem noi coordonate:

y^{\mu }={\widetilde {y^{\mu ))}b,

U={\widetilde {U}}b,

V={\widetilde {V}}b.

Trecând la limită , obținem ecuația de încorporare a limitei în : $b\rightarrow \infty$ $AdS_{d+1}$ $\mathbb {R} ^{2,d)$

{\widetilde {U}}{\widetilde {V}} -g_{\mu \nu }{\widetilde {y^{\mu }}}{\widetilde {y^{\nu }}}= 0.

Această ecuație este invariantă la scalare , unde este orice număr real pozitiv. Prin urmare, varietatea limită ar trebui considerată ca clase de echivalență conformă (proiectivă): $b\rightarrow lb$ $l$

UV-g_{\mu \nu }y^{\mu }y^{\nu }=0,

( 22 )

(U,V,y)\sim l(U,V,y).

Este ușor de văzut care dintre clasele de echivalență poate fi aleasă prin redimensionare ( 22 ):

(y^{0})^{2}+(y^{d+1})^{2}=\sum _{i=1}^{d-1}(y^{i}) ^{2}+(y^{d})^{2}=1.

Ca rezultat, granița spațiului în coordonate globale este o varietate conformă cu topologia . Dimensiunea limitei conforme este cu o mai mică decât dimensiunea varietatii inițiale, ceea ce este similar cu cazul limitei obișnuite a unei varietăți cu graniță. $AdS_{d+1}$ $S^{1}\times S^{d-1}$

Limită AdS în coordonatele Poincaré

Raționamentul cu privire la limita AdS în coordonatele Poincaré este oarecum complicat de faptul că coordonatele Poincaré descriu doar o parte a spațiului AdS, astfel încât limita în coordonatele Poincaré are regiuni suplimentare corespunzătoare fasciculului [10] de coordonate globale.

Orizontul Poincaré

Ecuațiile ( 17 ) și ( 19 ) arată că parametrizarea în coordonatele Poincare împarte de fapt spațiul AdS în două jumătăți egale: $z>0$

{\frac {y^{d+1}-y^{d}}{R^{2}}}={\frac {1}{z}}={\frac {U}{R^ {2}}}.

( 23 )

Ecuația ( 23 ) este interpretată după cum urmează. Atunci când alegeți o parametrizare , este descrisă doar jumătate din hiperboloidul înglobării în , ale cărui coordonate sunt supuse condiției . În schimb, parametrizarea definește condiția în coordonate globale . Astfel, ca hiperboloid încorporat în ( 3 ), acesta este disecat de un hiperplan , fiecare jumătate din care este descrisă în coordonatele Poincaré. În plus, din ecuația ( 23 ) rezultă că hiperplanul este partea limitei AdS în coordonatele Poincaré care nu este singulară în coordonatele globale și corespunde limitei în coordonatele Poincaré. Această limită se numește orizont Poincaré. $z>0$ $\mathbb {R} ^{2,d)$ $y^{d+1}>y^{d)$ $z<0$ $y^{d+1}<y^{d)$ $AdS_{d+1}$ $\mathbb {R} ^{2,d)$ ${\displaystyle y^{d+1}=y^{d))$ ${\displaystyle y^{d+1}=y^{d))$ $z\rightarrow \infty$

O caracteristică importantă a orizontului Poincaré este că pentru , din legătura cu coordonatele globale ( 20 ) se obține și o ecuație pentru hiperplanul secant în coordonate globale de forma: $z\rightarrow \infty$ $x^{\mu <d},t\rightarrow \infty$

\cos \tau ={\hat {n_{d)}}\sin \rho .

( 24 )

Trecerea în ( 25 ) la limită , i.e. luând în considerare granița globală AdS ( 6 ), este clar că există soluții de forma: $\rho \rightarrow {\frac {\pi }{2)}$

\cos \tau ={\hat {n_{d)}}.

( 25 )

Ecuația ( 25 ) implică faptul că orizontul Poincaré include nu numai părți ale graniței globale (at ), ci și subvariete ale majorității AdS global. Pe de altă parte, rezultă din ( 25 ) că fasciculul Poincare-patch conține subvariete ale limitei globale conforme, deoarece ecuația ( 25 ) poate fi satisfăcută și în cazul lui . $\rho \rightarrow {\frac {\pi }{2)}$ $0<z<\infty$

Cu toate acestea, orizontul Poincaré poate fi considerat parțial ca o varietate conformă, întrucât în limită se poate obține, prin reparametrizarea metricii ( 18 ) prin înlocuirea , următoarea formă a metricii: $0<z<\infty$ ${\frac {1}{z}}=e^{r}$

ds_{\text{PP}}^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}+dx^{\mu }dx_{\ mu })=R^{2}(dr^{2}+e^{2r}dx^{\mu }dx_{\mu }).

( 26 )

Acestea. zona orizontului corespunde iar orizontul se reduce la . Trebuie reținut, totuși, că orizontul Poincaré este o caracteristică singulară numai în coordonatele Poincaré, adică. include încă zone din volumul global și, prin urmare, nu poate fi considerată în termeni de graniță conformă [11] . $z\rightarrow \infty$ $r\rightarrow -\infty$ $M^{d}\times R^{1)$

Limită AdS conformă în coordonatele Poincaré

Metrica ( 18 ) are o singularitate. Când se aspiră , rezultă din relațiile ( 19 ) (care este doar o parte a graniței globale), iar metrica ( 26 ) la este transformată în forma: $z\rightarrow 0$ $y^{\mu }\rightarrow \infty$ $r\rightarrow +\infty$

ds_{\text{PP}}^{2}=e^{2r}dx^{\mu }dx_{\mu }.

( 27 )

Prezența unui factor de conformare singular înseamnă că metrica ( 27 ) este conform plată. Astfel, structura locală a limitei spațiului în coordonatele Poincare este vizibilă - din punct de vedere topologic, aceasta este o varietate conformă a dimensiunii Minkowski . $AdS_{d+1}$ $M^{d)$ $d$

Timpul finit de propagare a luminii la graniță în AdS

Spațiul AdS are o proprietate specială care afectează puternic fizica din acest spațiu, cel puțin la distanțe macroscopice. Luați în considerare mișcarea unui fascicul de lumină în coordonatele Poincaré, descrise de vectori asemănătoare luminii în termeni de metrică ( 26 ) și găsiți timpul de propagare al fasciculului de lumină de- a lungul punctului până la graniță . Metrica ( 26 ) la constante pentru vectori asemănătoare luminii ( ) are forma: $z$ $z_{0}$ $z\la 0$ $x_{i},(i=1...d-1)$ $ds^{2}=0$

ds^{2}=R^{2}(dr^{2}-e^{2r}dt^{2})=0.

Din aceasta se poate observa că Poincaré este timpul de propagare a semnalului luminos de-a lungul sursei situate în punctul până la graniță , adică de-a lungul coordonatei până la limita , se dovedește a fi finită: $r$ $r_{0}$ $r\to\infty$ $z$ $z\la 0$

t=\int {dt}=R^{2}\int \limits _{r_{0}=-\ln z_{0}}^{\infty }e^{-r}dr=e^ {-r_{0}}<\infty .

O particulă masivă, atunci când se deplasează de-a lungul unei geodezice, nu va ajunge la graniță și într-un timp finit se va întoarce la punctul din care a început să se miște. Drept urmare, particulele libere din spațiul AdS sunt, parcă, într-o cutie gravitațională .

Conexiune limită-grindă pentru dinamică în AdS

Proprietatea de mai sus este strâns legată de absența hiperbolicității globale în spațiul AdS: pentru a descrie evoluția oricărui sistem fizic din spațiul AdS, pe lângă condițiile inițiale de pe suprafața Cauchy, rezultă că este necesar să se stabilească condiţii la limită pe întreaga limită conformă. Aceasta este o consecință a faptului că această limită conține o direcție temporală. De aici rezultă o concluzie importantă: atunci când este specificată dinamica în fasciculul spațiului AdS, dinamica de pe limita sa conformă este de asemenea specificată în mod unic și invers. Într-un anumit sens, această proprietate este cea care stă la baza binecunoscutei corespondențe holografice din teoria corzilor (corespondența AdS/CFT). În linii mari, gravitația în blocul AdS definește în mod unic o teorie conformă a câmpului la limita sa. Ca rezultat, dinamica, de exemplu, a unei particule la graniță admite două descrieri echivalente - câmp gravitațional și cuantic.

Intuitiv, conexiunea holografică neechivocă a dinamicii particulelor la limita unui spațiu și în volumul acestuia (în mare parte ) poate părea paradoxală, deoarece granița are o dimensiune mai mică, ceea ce, se pare, ar trebui să conducă la o dinamică mai limitată. Cu toate acestea, aceste intuiții se dovedesc a fi incorecte în cazul spațiului AdS. În acest sens, este util să menționăm raportul dintre suprafață și volum din spațiul AdS. Într-un spațiu plat, raportul dintre suprafața unei regiuni a spațiului cu o dimensiune liniară și volumul său se comportă ca . În spațiul AdS de rază , acest raport se comportă diferit - se poate demonstra că pentru un suficient de mare se comportă ca , i.e. nu depinde de dimensiunea liniară (vezi, de exemplu, [12] ). Prin urmare, tinzând spre infinit, devine clar că granița AdS poate găzdui tot atâtea grade fizice de libertate (de exemplu, particule sub formă de pachete de undă) cât întregul volum al acestui spațiu. $S$ $L$ $V$ $S/V\sim 1/L$ $R$ $L$ $S/V\sim 1/R$ $L$ $L$

Diagrama Penrose

Structura limitelor este ilustrată convenabil folosind diagrama Penrose. Pentru a construi această diagramă în coordonate ( 7 ), trebuie să vă amintiți că timpul global este ciclic, adică. este posibil să se construiască numai domeniul cauzal , de exemplu . Să facem o schimbare în metrica ( 6 ). Din ( 20 ) rezultă clar că este mai convenabil să se studieze secțiunea locală a unui cilindru într-un plan pentru care . Procesul de compactare a părților temporale și spațiale , descris mai devreme pentru definirea metricii în coordonate globale, duce la apariția unui factor de conformare și, prin urmare, păstrează curbele luminoase pentru care . Astfel, toate liniile drepte din planul - al diagramei Penrose, care sunt la un unghi în raport cu sau , corespund semnalelor luminoase. Într-o astfel de parametrizare, diagrama Penrose a spațiului este o proiecție plată simetrică a cilindrului global prezentat în Fig. 4 și fiecare punct al diagramei este de fapt o sferă . Această diagramă este prezentată în Fig.5 $\tau \in [-\pi ,\pi ]$ $\rho /R\la \rho \in (0,\pi /2]$ $(\tau ,\rho )$ $AdS_{d+1}$ ${\hat {n}}_{d}\in [-1,1]$ $ds^{2}=0$ $(\tau ,\rho )$ $\pi /4$ $\rho$ $\tau$ $AdS_{d+1}$ $AdS_{d+1}$ $S^{d-1}$

AdS ca soluție Schwarzschild pentru o gaură neagră încărcată

Un exemplu binecunoscut al apariției spațiului AdS în gravitație este soluția pentru metrica din apropierea orizontului unei găuri negre Reisner-Nordström cu încărcare extremă. Vedere generală a metricii simetrice sferice pentru o gaură neagră:

ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{f(r)))+r^{2}d\Omega ^{2} ,

( 28 )

unde este pătratul unghiului solid și este funcția de a rezolva o gaură neagră Reissner-Nordström statică, simetrică sferic, încărcată în spațiul cu patru dimensiuni: $d\Omega ^{2}$ $f(r)$

f(r)=1-{\frac {r_{0}}{r}}+{\frac {r_{Q}^{2}}{r^{2}}}.

( 29 )

Generalizarea lui ( 29 ) în cazul măsurătorilor este următoarea înlocuire [13] : $D$

f(r)=1-\left({\frac {r_{0}}{r}}\right)^{D-3}+\left({\frac {r_{Q}^{2 }}{r^{2}}}\dreapta)^{D-3}.

( 30 )

Aici , este masa găurii negre și este sarcina găurii negre în metri. Rădăcinile ecuației sunt punctele de singularitate ale metricii ( 28 ). Dacă , adică gaura neagră este neîncărcată, atunci această ecuație are o rădăcină, iar metrica are un orizont de evenimente la raza Schwarzschild . În cazul soluției Reissner-Nordström, există două rădăcini și : $r_{0}\aproximativ 2M$ $M$ $r_{Q}$ $f(r)=0$ $r_{Q}=0$ $r_{0}$ $r_{+)$ $r_{-}$

r_{\pm }={\frac {r_{0}\pm {\sqrt {r_{0}^{2}-4r_{Q}^{2)))){2)).

Luați în considerare cazul în care metrica ( 28 ) are un singur punct de singularitate și intră în metrica așa-numitei găuri negre extreme Reissner-Nordström: $r_{+}=r_{-}={\frac {r_{0}}{2}}$

f(r)=\left(1-{\frac {r_{0}}{2r}}\right)^{2}.

Se poate extinde funcția lângă această singularitate introducând: $f(r)$ $r={\frac {r_{0}}{2}}$

r={\frac {r_{0}}{2}}+u,\qquad u\ll r_{0},\qquad u={\frac {r_{Q}^{2}}{z }}.

( 31 )

Înlocuind expansiunea în ( 28 ) și păstrând ordinea principală, se obține următoarea metrică în apropierea găurii negre:

ds^{2}={\frac {r_{Q}^{2}}{z^{2}}}(dz^{2}-dt^{2})+r^{2}d \Omega ^{2}.

( 32 )

Metrica ( 32 ) are o structură topologică , unde partea AdS este scrisă în coordonatele Poincaré. Această măsurătoare este cunoscută sub numele de metrica Bertotti-Robinson. Orizontul Poincare din această metrică este , așa cum sa discutat mai devreme, care corespunde orizontului de evenimente al unei găuri negre extreme și decurge de la ( 31 ) la . În schimb, granița conformă ( ) corespunde unei regiuni a spațiului infinit distanță de gaura neagră . $AdS_{2}\times S^{2}$ $z\la \infty$ $u\la 0$ ${\displaystyle AdS_{2))$ $z\la +0$ $u\la +\infty$

Termodinamica găurilor negre în spațiul AdS

După cum știți, găurile negre radiază, așa că li se poate atribui o anumită temperatură, numită temperatură Hawking. Această radiație este un efect cuantic în apropierea orizontului de evenimente al găurilor negre. Pur și simplu, acest efect poate fi descris după cum urmează. Când se iau în considerare câmpurile cuantice din regiunea orizontului unei găuri negre simetrice sferic (împotriva unei geometrii curbe), operatorii de câmp pot fi descompuși efectiv (vezi, de exemplu, [14] ) în moduri care trec dincolo de orizont și moduri care părăsesc regiunea orizontului și sunt emise în spațiul cosmic. Astfel, direcția radială pe un fundal singular curbat sferic simetric devine evidențiată. Interpretarea fizică a acestui efect este că câmpurile gravitaționale din apropierea orizontului unei găuri negre, considerate ca fundal pentru câmpurile de materie, conduc la crearea de perechi de particule, dintre care una intră în gaura neagră, iar cealaltă este emisă ca o particulă fizică pe suprafața masei. Această radiație are un spectru termic și poartă numele radiației Hawking [15] . Temperatura sa poate fi calculată într-un caz destul de general pentru soluții de tip Schwarzschild simetrice sferice:

ds^{2}=-g_{tt}(r)dt^{2}+g_{rr}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{D-2}^{2 }.

În acest caz, așa cum se arată, de exemplu, în [16] , temperatura Hawking ia forma:

T_{H}=\lim _{r\to r_{s)} {\frac {\partial _{r}{\sqrt {g_{tt)}}} {2\pi {\sqrt {g_ {rr}}}}},

( 33 )

care în notația ( 28 ) poate fi rescrisă ca:

T_{H}=\lim _{r\to r_{s}}{\frac {\partial _{r}{\sqrt {f(r))}}{2\pi {\sqrt {f ^{-1}(r)))))={\frac {f^{\prime }(r_{s})}{4\pi )),

( 34 )

unde este punctul singular . Luați în considerare o gaură neagră statică neîncărcată în fundal, care este o soluție singulară a ecuațiilor Einstein cu o constantă cosmologică negativă (folosind ( 4 ) și ( 30 )): $r_{s}$ $f(r_{s})=0$ $AdS_{5}$

ds_{AdS_{5}}^{2}=-\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {r_{0}^{ 2}}{r^{2}}}\right)dt^{2}+\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {r_{ 0}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{3}^{2}.

( 35 )

Aici există un parametru legat de masa găurii negre M și constanta cincidimensională a lui Newton prin relația: $r_{0}$ $G_{5}$

r_{0}=2MG_{5}.

Factorul singular, ca și în cazul ( 29 ), este egal cu:

f(r)=\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {r_{0}^{2}}{r^{2 }}}\dreapta).

Punctul singular (orizontul) este soluția ecuației : $f(r_{s})=0$

r_{s}^{2}={\frac {R^{2}}{2}}\left({\sqrt {1+{\frac {4r_{0}^{2}}{R ^{2}}}}}-1\dreapta)>0.

( 36 )

Deoarece scara este fixă, are două asimptotice: $R$ $r_{s}$

r_{0}\ll R\Rightarrow r_{s}\sim r_{0},

r_{0}\gg R\Rightarrow r_{s}\sim {\sqrt {r_{0}R)).

Raza orizontului este limitată de raza Schwarzschild: $r_{s}$

{\frac {r_{s}^{2}}{r_{0}^{2}}}={\frac {2}{{\sqrt {1+{\frac {4r_{0}^ {2}}{R^{2}}}}}}+1}}\leq 1.

( 37 )

Comportamentul asimptotic este o caracteristică calitativă a masivității unei găuri negre în spațiul AdS. O gaură neagră pentru care se numește mică . Pentru astfel de găuri negre, relația ( 37 ) tinde spre unitate. În schimb, găurile negre pentru care este satisfăcut sunt numite mari . Pentru ei, din ( 37 ) se obține . $r_{s}$ $r_{0}\ll R$ $r_{o}\gg R$ $r_{s}\gg R$

Înlocuirea expresiilor ( 36 ) și ( 37 ) în ( 34 ) face posibilă obținerea temperaturii Hawking a unei găuri negre pe fundal: $AdS_{5}$

T_{H}={\frac {1}{4\pi }}\left({\frac {2r}{R^{2}}}+2{\frac {r_{0}^{2 }}{r^{3}}}\right){\bigg |}_{r=r_{s}}={\frac {R^{2}+2r_{s}^{2}}{2\ pi r_{s}R^{2}}}.

( 38 )

Această temperatură are două asimptotice care corespund unei găuri negre mari și mici:

r_{s}\ll R\Rightarrow T_{H}\aprox {\frac {1}{2\pi r_{s)}},

r_{s}\gg R\Rightarrow T_{H}\aprox {\frac {r_{s}}{\pi R^{2}}}.

Se poate observa că temperatura Hawking crește atât în limita unei mase mari, cât și în limita unei mici găuri negre. Astfel, spațiul susține [17] existența unor găuri negre relativ stabile cu rază . În același timp, temperatura Hawking pentru găurile negre mici se comportă ca cea a găurilor negre din spațiul Minkowski (cu cât este mai mică, cu atât mai fierbinte). Aceasta înseamnă că pentru găurile negre mici, curbura spațiului R poate fi neglijată. Rezultatele de mai sus pentru termodinamica găurilor negre în pot fi generalizate la . Pentru a face acest lucru, trebuie să derivați temperatura Hawking ( 38 ) în cazul general. Această temperatură este extrasă din analiza așa-numitei singularități conice în metrica euclidiană în apropierea orizontului (vezi, de exemplu, [18] ). După euclidizare (prin efectuarea unei rotații Wick ) , temperatura radiației se numește perioada de închidere a timpului euclidian în teoria câmpului cuantic la o temperatură finită. $AdS_{5}$ $r_{s}\aprox R$ $AdS_{5}$ $AdS_{5}$ $AdS_{d+1}$ $t\to -it_{E)$

Luați în considerare un spațiu în coordonate globale cu o singularitate încorporată ca o gaură neagră: $AdS_{d+1}$

ds^{2}=-\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^{d- 2}}}\right)dt^{2}+\left(1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^ {d-2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega _{d-1}^{2},

( 39 )

unde este constanta lui Newton, este masa singularității imbricate și este raza Schwarzschild pentru singularitatea imbricată: $G_{N}$ $M$ $w_{d)$

w_{d}={\frac {8\pi G_{N}^{(d+1)}}{(d-2)\Omega _{d-1}}}.

( 40 )

În plus, definirea orizontului exterior ca cea mai mare soluție a ecuației pentru un factor singular, $r_{+)$

1+{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^{d-2}}}=0,

( 41 )

este posibil să se efectueze rotirea fitilului și să se considere simultan metrica aproape de , trecând la coordonatele radiale a vederii la : $r_{+)$ $r=r_{+}+\rho ^{2)$ $\rho \to 0$

ds_{+}^{2}\simeq {\frac {4}{\left({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2) w_{d}M}{r_{+}^{d-1}}}\right)}}\left(d\rho ^{2}+\rho ^{2}{\frac {dt^{2} }{4}}\left({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2)w_{d}M}{r_{+}^{d- 1}}}\right)^{2}\right)+r_{+}^{2}d\Omega _{d-1}^{2}.

( 42 )

Când luăm în considerare teoria câmpului la o temperatură finită pe acest fond, timpul euclidian trebuie presupus a fi închis cu o perioadă , apoi integrala de cale care definește teoria se reduce la funcția de partiție a sistemului cu o temperatură finită : $\beta$ $T={\frac {1}{\beta }}$

Z[\beta]=Tr[e^{-\beta {\hat {H))}]=\int _{\phi ({\overline {x)),t_{E})=\phi ({\overline {x)),t_{E}+\beta )}D\phi \;e^{-S_{E}[\phi ]}.

Aceeași definiție a temperaturii este folosită și în analiza metricii în apropierea unei găuri negre. Primul termen din ( 42 ) la închiderea timpului euclidian , unde $\tau \in [0,2\pi -\Delta ]$

\tau ={\frac {t}{2}}\left({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2)w_{d} M}{r_{+}^{d-1}}}\dreapta),

( 43 )

definește metrica unei varietăți bidimensionale în coordonate polare care are o singularitate conică [19] pentru în punctul . Prin urmare, constatăm că perioada timpului euclidian este , deoarece în caz contrar prezența unei singularități conice la orizont duce la o pierdere a netezimii metricii. Prin urmare, se poate defini folosind ( 43 ) ca: $(\rho,\tau)$ $\Delta \neq 0$ $\rho =0$ $\beta _{\tau }=2\pi$ $r_{+)$ $\beta _{t}=\beta$

\beta =\beta _{t}={\frac {4\pi }({\frac {2r_{+}}{R^{2}}}+{\frac {(d-2)w_ {d}M}{r_{+}^{d-1))))}={\frac {4\pi }({\frac {d\cdot r_{+}}{R^{2}}} +{\frac {d-2}{r_{+}}}}}.

Deci, temperatura găurii negre imbricate este: $AdS_{d+1}$

T={\frac {1}{\beta }}={\frac {d\cdot r_{+}^{2}+(d-2)R^{2}}{4\pi R^ {2}r_{+}}}.

( 44 )

Acest rezultat generalizează ( 38 ).

O gaură neagră este stabilă dacă căldura sa specifică este pozitivă, adică. când sistemul este o gaură neagră - câmpul devine echilibru. Ecuația ( 44 ) parametrizează o curbă , al cărei minim este găsit din condiția: $C_{B}H=\partial M/\partial T$ $T(M)$

{\frac {\partial T}{\partial M}}={\frac {dT}{dr_{+}}}{\frac {dr_{+}}{dM}}=0.

Totuși, diferențierea ( 40 ) dă:

{\frac {dr_{+}}{dM}}\left({\frac {d\cdot r_{+}^{d-1}}{R^{2}}}+(d-2) )r_{+}^{d-3}\right)=w_{d},

de unde rezultă că , i.e. minimul se determină din : ${dr_{+}}/{dM}>0$ $T(M)$ $dT/dr_{+}=0$

r_{+}^{\text{min}}=R{\sqrt {\frac {d-2}{d}}},

ceea ce duce la expresia pentru temperatura minimă:

T_{\text{min}}={\frac {d\cdot r_{+}}{2\pi R}}={\frac {\sqrt {d(d-2))}{2\ pi R}}.

Găurile negre de masă mică a căror temperatură este peste minimul se dovedesc a fi instabile din punct de vedere termodinamic (cum ar fi găurile negre din spațiul Minkowski). Pe măsură ce masa găurii negre crește peste o anumită valoare critică, pentru care temperatura scade la minim, gaura neagră devine termodinamic stabilă. Astfel, spațiul este capabil să susțină existența unor găuri negre imbricate stabile. $AdS_{d+1}$

Tranziție la coordonatele Poincaré

În cazul găurilor negre încorporate asimptotic și descrise de metrica ( 35 ), putem lua în considerare trecerea la coordonatele Poincaré și obținem un analog al lui ( 32 ). Această tranziție va însemna luarea în considerare doar a unei părți a globalului și va fi dictată de considerente fizice. $AdS_{5}$ $AdS_{5}$

Tranziția la coordonatele Poincare pentru cazul general cu o gaură neagră încorporată este descrisă în [20] . În limita , metrica ( 39 ) din semnătura euclidiană ia forma: $AdS_{d+1}$ $r\gg R$

ds^{2}\simeq \left({\frac {r}{R}}dt\right)^{2}+\left({\frac {R}{r}}dr\right)^ {2}+r^{2}d\Omega _{d-1}^{2}.

Aceasta arată că atunci când se introduce temperatura, timpul euclidian trebuie pliat într-un cerc de rază (pentru o rază fixă ), iar sfera -dimensională din ultimul termen are o rază . În acest caz, în limită, obținem . Deoarece limita corespunde graniței conformale pe care trăiește teoria conformă a câmpului (CFT) , factorul de scară generală după luarea limitei poate fi eliminat (deoarece doar scalele relative au sens) și topologia limitei conformale devine . Totuși, la fel ca după trecerea la coordonatele Poincaré în , trebuie să obținem o limită conformă cu topologia , deoarece încercăm să obținem CFT la o temperatură finită într-un spațiu plat, și nu pe o sferă. Aceasta înseamnă că atunci trebuie să luăm în considerare limita infinită a relației , ceea ce ne permite să neglijăm topologia părții spațiale, $\rho _{1}={\frac {r}{RT}}$ $r$ $(d-1)$ $\rho _{2}=r$ $r\la \infty$ $\rho _{1}\sim \rho _{2}\sim r$ $r\to\infty$ $r$ $S^{d-1}\times S^{1}$ $AdS_{d+1}$ $\mathbb {R} ^{d-1}\times S^{1)$ $\rho _{2}/\rho _{1)$

{\frac {\rho _{2}}{\rho _{1}}}=RT\to \infty .

Astfel, limita dorită este atinsă la , ceea ce este posibil doar la . În această limită, este necesar să se redimensioneze coordonatele astfel încât termenul să rămână finit la . Din moment ce , redimensionarea dorită arată astfel: $T\la \infty$ $M\la \infty$ $r^{2}dt^{2}$ $M\la \infty$ $M\sim r^{d)$

r=\left({\frac {w_{d}M}{R^{d-2}}}\right)^{1/d}\rho ,

( 45 )

t=\left({\frac {w_{d}M}{R^{d-2)}}\right)^{-1/d}\tau .

( 46 )

Metrica ( 39 ) după înlocuirea ( 45 ), ( 46 ), precum și euclidianizarea în limită , respectiv, ia forma: $M\la \infty$

ds^{2}=\left({\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}-{\frac {R^{d-2}}{\rho ^{d -2}}}\right)d\tau ^{2}+\left({\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}-{\frac {R^{d-2} }{\rho ^{d-2}}}\right)^{-1}d\rho ^{2}+\rho ^{2}\sum \limits _{i=1}^{d-1} dx_{i}^{2},

( 47 )

unde . Pentru a afla perioada , se poate observa că în limita ecuației mari ( 41 ) se reduce la forma: $dx_{i}=(w_{d}M/R^{d-2})^{2}d\Omega _{i)$ $\tau$ $M$

{\frac {r^{2}}{R^{2}}}-{\frac {w_{d}M}{r^{d-2}}}=0\;\Rightarrow \; r_{+}=(w_{d}MR^{2})^{1/d}.

De unde, în aceeași limită a marii , din ( 44 ) obținem: $M$

\beta ={\frac {4\pi R^{2}}{d(w_{d}MR^{2})^{1/d}}}.

În plus, din ( 46 ) rezultă că perioada de timp euclidiană din ( 47 ) este exprimată ca:

\beta _{1}=\beta \left({\frac {w_{d}M}{R^{d-2)}}\right)^{1/d}={\frac {4 \pi R}{d}}.

Astfel, luarea în considerare a CFT pe granița conformă a spațiului cu o gaură neagră încorporată în limita masei infinite a găurii negre, , conduce la o descriere a CFT la o temperatură finită, care depinde liniar de numărul de dimensiuni spațiale . $AdS_{d+1}$ $M\la \infty$ $d$

La , i.e. luând în considerare o gaură neagră în spațiu , metrica ( 47 ) ia forma: $d=4$ $AdS_{5}$

ds^{2}={\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}\left[\left(1-{\frac {R^{4}}{\rho ^ {4}}}\right)d\tau ^{2}+R^{2}{\overline {x}}^{2}\right]+{\frac {R^{2}d\rho ^{ 2}}{\rho ^{2}(1-{\frac {R^{4}}{\rho ^{4}}})}}.

După substituții , , , obținem pentru : $\rho /R=z_{0}/z$ $\tau =-itR/z_{0)$ ${\overline {x}}={\overline {y}}/z_{0}$ $z>0$

ds^{2}={\frac {R^{2}}{z^{2}}}\left[-\left(1-{\frac {z^{4}}{z_{0 }^{4}}}\right)dt^{2}+{\overline {y}}^{2}+\left(1-{\frac {z^{4}}{z_{0}^{ 4}}}\right)^{-1}dz^{2}\right].

( 48 )

Metrica ( 48 ) descrie spațiul cu o gaură neagră încorporată în coordonatele Poincare (uneori această metrică este numită o gaură neagră plată ). Mai precis, această măsurătoare descrie partea AdS a spațiului din apropierea așa-numitelor brane D3 non -extremale. Metrica ( 48 ) are o singularitate în punctul , acest punct acționând ca un analog al razei Schwarzschild pentru o gaură neagră încorporată în spațiul Minkowski (la trecerea prin acest punct, semnătura metricii se modifică - timp și spațiu în direcția radială schimba locul ). Trebuie subliniat încă o dată că această tranziție se face în limită (dictată de considerente fizice!), când Ec. ( 40 ) are o soluție unică, în timp ce pe limita conformală , care are topologia , se poate determina CFT la o temperatură finită egală cu $AdS_{5}$ $z=z_{0}$ $M\la \infty$ $z\la 0$ $\mathbb {R} ^{4,1}$

T={\frac {1}{\pi z_{0}}}.

Datorită limitei utilizate , aceasta este temperatura unei găuri negre mari în (care este mai mare, cu atât mai fierbinte, spre deosebire de o gaură neagră mică , a cărei termodinamică este analogă cu o gaură neagră în spațiu plat). Găurile negre mici dispar complet în tranziția la metrică ( 48 ). $M\la \infty$ $AdS_{5}$ $AdS_{5}$

AdS în teoria șirurilor

Spațiul a început să joace un rol imens în teoria corzilor și în domeniile conexe după apariția ipotezei corespondenței AdS/CFT în 1997. Acest spațiu apare asimptotic în apropierea unui teanc de un număr mare de brane D3 în supergravitația zece-dimensională de tip IIB, care la rândul său, este o aproximare cu energie scăzută la teoria superstringurilor de tip IIB. Soluția corespunzătoare pentru metrica creată de un teanc de bucăți de D3-brane este următoarea: $AdS_{5}$ $N$

ds^{2}=f(r)dx^{\beta }dx_{\beta}+h(r)(dr^{2}+r^{2}d\Omega _{5}^{ 2}),

( 49 )

dx^{\beta }dx_{\beta }=-dt^{2}+\sum \limits _{i=1}^{3}(dx^{i})^{2},

r^{2}=\sum \limits _{a=4}^{9}(x^{a})^{2},

unde funcțiile și au fost găsite în [21] , $f(r)$ $HR)$

f(r)={\frac {1}{h(r)}}=\left(1+{\frac {R^{4}}{r^{4}}}\right)^{ -{\frac {1}{2}}},

( 50 )

R^{4}=4\pi g_{s}N\alpha ^{\prime \;2}.

( 51 )

Aici - constanta de cuplare a corzilor, - tensiunea corzilor. $g_s$ $\alpha ^{\prime }$

Pentru , metric ( 49 ) devine asimptotic plat, dar pentru , avem: $r\la \infty$ $r\la 0$

ds^{2}={\frac {r^{2}}{R^{2}}}(-dt^{2}+d{\overline {x}}^{2})+{ \frac {R^{2}}{r^{2}}}dr^{2}+R^{2}d\Omega _{5}^{2}.

( 52 )

Primii doi termeni din ( 52 ) descriu spațiul în coordonatele Poincare (substituția duce la ( 18 )). Astfel, metrica ( 52 ) descrie spațiul în care sfera are o rază constantă , adică. metrica ( 49 ) din jurul stivei de brane D3 în supergravitație de tip IIB în vecinătatea sursei (distanța până la stiva ) are un gât cu o rază constantă asimptotic (fiecare cerc al pâlniei este o sferă ). $AdS_{5}$ $r={\frac {R^{2}}{z}}$ $AdS_{5}\times S^{5}$ $S^{5}$ $R$ $r\aproximativ 0$ $S^{5}$

Apariția unei structuri topologice pentru metrica ( 49 )-( 50 ) în apropierea singularității are o asemănare vizibilă cu apariția unei structuri topologice pentru metrica ( 32 ) în apropierea orizontului unei găuri negre încărcate într-un 4-dimensional, spațiu Minkowski asimptotic plat. $AdS_{5}\times S^{5}$ $r=0$ $AdS_{2}\times S^{2}$

Zona gâtului este definită de afecțiune . Aplicabilitatea descrierii gravitaționale clasice necesită luarea în considerare a limitelor și , în caz contrar, corecțiile șirurilor se dovedesc a fi semnificative. asta implică $r\ll R$ $r\gg {\sqrt {\alpha ^{\prime }}}$ $g_{s}\la 0$

g_{s}N\gg 1,

( 53 )

în limită , adică numărul de brane D3 din stivă (aproximație a unei stive infinit masive). În acest caz, sursa este îndepărtată la infinit din orice punct al gâtului ( 52 ), ceea ce înseamnă că metrica ( 52 ) poate fi considerată ca o metrică de fundal pentru orice regiune din interiorul gâtului. $g_{s}\la 0$ $N\la \infty$ $r=0$

În teoria superstringurilor de tip IIB , în care corzile sunt inițial închise, apar în mod dinamic șiruri deschise, care se termină în brane (de asemenea, care apar dinamic). Dinamica capetelor șirurilor definește o anumită teorie a câmpului asupra acestor brane în spațiu -timp plat . În cazul branelor D3, aceasta este o teorie Yang-Mills supersimetrică cu un grup gauge , care este o teorie conformă a câmpului cu o constantă de cuplare . Dinamica acestei teorii, așa cum s-a menționat mai sus (în secțiunea Conexiuni limită-fasci pentru dinamica în AdS ), va fi complet determinată de supragravitația de tip IIB pe fundal și invers. În linii mari, aceasta este esența ipotezei corespondenței AdS/CFT . ${\cal {N}}=4$ $SU(N)$ $g\sim {\sqrt {g_{s}))$ $AdS_{5}\times S^{5}$

Este important de menționat că, datorită ( 53 ), descrierea gravitațională a teoriei câmpului conformal este aplicabilă la , i.e. în limita de cuplare puternică, care poate deschide posibilități largi pentru o descriere neperturbativă a cuplării puternice în teoria câmpului de măsurare folosind gravitația în spațiul AdS de dimensiuni mai mari. Dezvoltarea acestei idei a jucat un rol uriaș în fizica teoretică modernă și a condus, de asemenea, la construirea a numeroase modele fenomenologice pentru descrierea diferitelor fenomene fizice în regimul de cuplare puternică, în special în teoria interacțiunilor puternice (vezi corespondența AdS/QCD). ). $g^{2}N\gg 1$

Note

↑ S. Kobayashi și K. Nomizu, „Foundations of Differential Geometry”, Volumul 1. A Wiley Publication in Applied Statistics, Wiley, 1996.
↑ Există și alte cuibări în care ora globală poate să nu fie închisă.
↑ T. Koda, „O introducere în geometria spațiilor omogene”, 2009.
↑ Mai strict, în topologie se vorbește despre structura unui fascicul principal peste o bază cu o proiecție și o fibră tipică . Deoarece și sunt grupuri Lie, dar există un homomorfism (cu nucleu ), putem scrie: . $(O(3),S^{2},\pi )$ $S^{2}$ $\pi :\,O(3)\la S^{2}$ $O(2)$ $O(2)$ $O(3)$ $\pi$ $O(2)$ $O(2)\la O(3)\la S^{2}=O(3)/O(2)$
↑ 1 2 L. P. EISENHART, „Geometria riemanniană”, p. 84-85. Princeton University Press, 1949.
↑ MP d. Carmo, „Geometria riemanniană” / Manfredo do Carmo ; tradus de Francis Flaherty. Matematică. Teorie și aplicații, Boston: Birkhäuser, 1992.
↑ P. Petersen, „Geometria Riemanniană”. Texte pentru absolvenți în matematică, Springer New York, 2006.
↑ J. Penedones, „TASI lectures on AdS/CFT”, în Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: New Frontiers in Fields and Strings, 8 2016.
↑ Metrica sub formă hiperbolică poate fi obținută și făcând o modificare în ( 4 ) și folosind ( 7 ).}. $\rho =R\operatorname {sh} (k)$
↑ În continuare, termenul bulk denotă zone ale spațiului global exterioare acoperirii de coordonate (plastic) fără caracteristici precum o graniță sau un orizont.
↑ CA Bayona și NRF Braga, „Antide Sitter boundary in Poincare coordinates”, Gen. rel. Grav., voi. 39, p. 1367-1379, 2007.
↑ B. Zwiebach, „Un prim curs în teoria corzilor”. Cambridge University Press, 7 2006.
↑ PP Avelino, AJS Hamilton, CAR Herdeiro și M. Zilhão, „Inflația de masă într-o gaură neagră reissnernordström ddimensional: O ierarhie a acceleratorilor de particule?”, Physical Review D, voi. 84, iulie 2011.
↑ SW Hawking, „Particle creation by black holes”, Communications in Mathematical Physics, vol. 43, nr. 3, p. 199-220, 1975.
↑ C. Kiefer, „Către o teorie cuantică completă a găurilor negre”, Lecture Notes in Physics, p. 416-450, iulie 2003.
^ ZZ Ma, „Hawking temperature of Kerr–Newman–Ads black hole from tunneling”, Physics Letters B, vol. 666, p. 376-381, septembrie 2008. 36
↑ Se presupune aici că o configurație stabilă termodinamic este fezabilă, atunci când evaporarea găurii negre este egală cu masa absorbită de aceasta. $AdS_{5}$
↑ H. Năstase, „Introduction to the AdS/CFT Correspondence”. Cambridge University Press, 2015.
↑ O singularitate conică apare într-o metrică cilindrică de tip , unde , dar . În acest caz, privit din , vom avea nu un cilindru, ci un con, care are evident o singularitate de curbură în punctul . $ds^{2}\sim d\rho ^{2}+\rho ^{2}d\theta ^{2}$ $\theta \in [0,2\pi -\Delta ]$ $\Delta \neq 0$ $\mathbb R^3$ $\rho =0$
↑ E. Witten, „Antide sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories”, 1998.
↑ GT Horowitz și A. Strominger, „Black strings and Pbranes”, Nucl. Fiz. B, voi. 360, p. 197-209, 1991.

Literatură

S. Kobayashi și K. Nomizu, „Fundațiile geometriei diferențiale”, volumul 1. O publicație Wiley în statistică aplicată, Wiley, 1996.
T. Koda, „O introducere în geometria spațiilor omogene”, 2009.
LP EISENHART, „Geometria riemanniană”, p. 84-85. Princeton University Press, 1949.
MP d. Carmo, „Geometria riemanniană” / Manfredo do Carmo ; tradus de Francis Flaherty. Matematică. Teorie și aplicații, Boston: Birkhäuser, 1992.
P. Petersen, „Geometria riemanniană”. Texte pentru absolvenți în matematică, Springer New York, 2006.
J. Penedones, „TASI lectures on AdS/CFT”, în Theoretical Advanced Study Institute in Elementary Particle Physics: New Frontiers in Fields and Strings, 8 2016.
CA Bayona și NRF Braga, „Hotarul Antide Sitter în coordonatele Poincare”, Gen. rel. Grav., voi. 39, p. 1367-1379, 2007.
B. Zwiebach, „Un prim curs în teoria corzilor”. Cambridge University Press, 7 2006.
PP Avelino, AJS Hamilton, CAR Herdeiro și M. Zilhão, „Inflația de masă într-o gaură neagră reissnernordström ddimensională: O ierarhie a acceleratorilor de particule?”, Physical Review D, voi. 84, iulie 2011.
SW Hawking, „Crearea particulelor prin găuri negre”, Communications in Mathematical Physics, vol. 43, nr. 3, p. 199-220, 1975.
C. Kiefer, „Către o teorie cuantică completă a găurilor negre”, Lecture Notes in Physics, p. 416-450, iulie 2003.
ZZ Ma, „Temperatura de creștere a găurii negre din kerr–newman–ads”, Physics Letters B, vol. 666, p. 376-381, septembrie 2008. 36
H. Năstase, „Introducere în Corespondența AdS/CFT”. Cambridge University Press, 2015.
E. Witten, „Antide sitter space, thermal phase transition, and confinement in gauge theories”, 1998.
GT Horowitz și A. Strominger, „Corzi negre și Pbrane”, Nucl. Fiz. B, voi. 360, p. 197-209, 1991.

Link -uri

Spațiu-timp de curbură negativă. // Juan Maldacena. Iluzia gravitației. - Elemente (Retipărire din revista „În lumea științei” nr. 2, 2006)
Cursul 8. Universul lui Friedman. (anti-)de Sitter space // M. O. Katanaev, Dr. Sci. n. . Curs special „Relativitatea generală și teoria geometrică a defectelor” - M.: MIAN, 2015.