Matricea anti-ermitiană

În matematică , o matrice anti- hermitiană sau skew-hermitiană este o matrice pătrată A a cărei conjugare hermitiană schimbă semnul matricei originale:

A^{\dagger }=-A,

sau element cu element:

a_{i,j}=-{\overline {a_{j,i)}},

unde denotă conjugarea complexă a numărului . $\overline{x}$ $X$

Proprietăți

Matricea B este hermitiană dacă și numai dacă matricea i B este anti- hermitiană. Aceasta implică că dacă A este anti-hermitian, atunci matricele ±iA sunt hermitiene. De asemenea, orice matrice anti-hermitiană A poate fi reprezentată ca A = i B , unde B este hermitiană. Astfel, proprietățile matricelor anti-hermitiene pot fi exprimate folosind proprietățile celor hermitiene și invers.
Matricea A este anti-Hermitiană dacă și numai dacă pentru orice vector și (forma este anti-Hermitiană). $X^{\dagger}A^{\dagger}Y=-X^{\dagger}AY$ $X$ $Y$ $X^{\dagger }AY$
Matricele anti-hermitiene se inchid sub adunare, inmultire cu un numar real, ridicare la o putere impara, inversare (matrici non-singulare).
Matricele anti-hermitiene sunt normale .
O putere uniformă a unei matrice anti-Hermitian este o matrice Hermitiană. În special, dacă este anti-ermitian, atunci este hermitian. $A$ $A^{2}$
Valorile proprii ale unei matrice anti-Hermitian sunt fie zero, fie pur imaginare .
Orice matrice pătrată poate fi reprezentată ca sumă a unei matrice hermitiene și a uneia anti-ermitiene:

M=M_{h}+M_{a}

, Unde

M_{h}={\frac {1}{2}}(M+M^{\dagger })

— Hermitian,

M_{a}={\frac {1}{2}}(MM^{\pumnal })

- anti-ermitian.

O matrice este anti-hermitiană dacă și numai dacă exponentul ei este unitar . $A$ $e^{A}$

Matricele anti-hermitiene formează algebra Lie a grupului Lie . ${\mathfrak {u}}(n)$ $U(n)$

Pentru orice număr complex astfel încât , există o corespondență unu-la-unu între matricele unitare care nu au valori proprii egale cu , și matricele anti-hermitiene , date de formulele Cayley: $\lambda$ $|\lambda |=1$ $U$ $A$ $A$

U=\lambda (AI)(A+I)^{-1},

A=\lambda (aI+U)(aI-U)^{-1},

eu

În special, când :

\lambda =-1

U=(IA)(I+A)^{-1},

A=(IU)(I+U)^{-1}.