Matricea unitară

O matrice unitară este o matrice pătrată cu elemente complexe , al cărei rezultat înmulțirea cu conjugatul hermitian este egal cu matricea de identitate : . Cu alte cuvinte, o matrice este unitară dacă și numai dacă există o matrice inversă ei care satisface condiția . $U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I$ $U^{{-1}}=U^{\pumnal }$

Matricele unitare generalizează conceptul de matrici ortogonale , ale căror elemente sunt doar numere reale, la matrici cu numere complexe.

Următoarele afirmații despre o matrice pătrată dată sunt echivalente: $A$

$A$ - unitar.
$A^{\pumnal }$ - unitar.
Coloanele matricei formează o bază ortonormală într-un spațiu unitar . $A$
Rândurile unei matrice formează o bază ortonormală într-un spațiu unitar . $A$

Interpretare

O matrice unitară reprezintă o transformare care transformă o bază ortonormală a unui spațiu vectorial complex de dimensiune corespunzătoare mărimii acestuia într-o bază ortonormală. (Acest lucru este valabil pentru orice bază ortonormală).

Acest lucru este echivalent cu a spune că transformarea reprezentată de o matrice unitară păstrează produsul interior (și deci lungimile tuturor vectorilor).

Proprietăți

Fiecare matrice unitară este normală .
Produsul matricelor unitare este, de asemenea, o matrice unitară.
Pentru orice matrice unitară , există o matrice unitară astfel încât este diagonală . $U$ $V$ $V^{*}UV$
Mulțimea tuturor matricelor unitare de ordin în ceea ce privește înmulțirea formează un grup unitar , grupul (algebric) Lie peste câmpul numerelor reale. $n$ $U(n)$

Dacă determinantul unei matrice unitare este egal cu unu, se numește o matrice unitară specială . Modulul determinantului unei matrice unitare este întotdeauna 1. $A$

Mulțimea tuturor matricelor unitare speciale de ordin prin înmulțire formează un grup unitar special . Grupurile și joacă un rol important în prezentarea mecanicii cuantice și a fizicii particulelor elementare . $n$ $Soare)$ $SU(2)$ $SU(3)$

Vezi și

Literatură

Matrice unitară // Uzhi - Fidel. - M .: Enciclopedia Sovietică, 1956. - S. 242. - ( Marea Enciclopedie Sovietică : [în 51 de volume] / redactor -șef B. A. Vvedensky ; 1949-1958, v. 44).