Exponent de matrice

Exponentul matricei este o funcție matriceală a unei matrice pătrate , similară cu funcția exponențială obișnuită . Exponentul matricei stabilește o conexiune între algebra Lie a matricelor și grupul Lie corespunzător .

Pentru o matrice reală sau complexă de dimensiune, exponentul lui , notat cu sau , este matricea definită de seria de puteri : $X$ $n\ ori n$ $X$ $e^{X}$ $\exp(X)$ $n\ ori n$

e^{X}=\sum _{{k=0}}^{\infty }{1 \over k!}X^{k}

unde este puterea k -a a matricei . Această serie converge întotdeauna, astfel încât exponentul lui este întotdeauna bine definit. $X^{k}$ $X$ $X$

Dacă este o matrice de dimensiune , atunci exponentul matricei este o matrice de dimensiune , al cărui singur element este egal cu exponentul obișnuit al unui singur element . $X$ $1\ ori 1$ $X$ $1\ ori 1$ $X$

Proprietăți

Proprietăți de bază

Pentru matrice și dimensiune complexe, numere complexe arbitrare și , matrice de identitate și matrice zero , exponentul are următoarele proprietăți: $X$ $Y$ $n\ ori n$ $A$ $b$ $E$ $0$

$\exp 0=E$ ;
$\exp aX\exp bX=\exp \left((a+b)X\right)$ ;
$\exp X\exp \left(-X\right)=E$ ;
dacă , atunci ; $XY=YX$ $\exp X\exp Y=\exp Y\exp X=\exp(X+Y)$
dacă este o matrice nesingulară , atunci . $Y$ $\exp(YXY^{{-1}})=Y\exp(X)Y^{{-1}}$
$\exp X^{{\mathrm T}}=(\exp X)^{{\mathrm T}}$ , unde denotă matricea transpusă pentru , de aici rezultă că dacă este simetrică , atunci este și simetrică, iar dacă este o matrice simetrică oblică , atunci este ortogonală ; $X^{{\mathrm T}}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$
$\exp(X^{*})=(\exp X)^{*}$ , unde denotă matricea conjugată hermitiană pentru , de aici rezultă că dacă este o matrice hermitiană , atunci este și hermitiană, iar dacă este o matrice anti-ermitiană , atunci este unitară . $X^{*}$ $X$ $X$ $\exp X$ $X$ $\exp X$

Sisteme de ecuații diferențiale liniare

Unul dintre motivele pentru care exponentul matricei este important este că poate fi folosit pentru a rezolva sisteme de ecuații diferențiale obișnuite [1] . Soluție de sistem:

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t),\quad y(0)=y_{0}

unde este o matrice constantă, este dată de: $A$

y(t)=e^{La}y_{0}.

Exponentul matricei poate fi folosit și pentru a rezolva ecuații neomogene de formă

{\frac {d}{dt}}y(t)=Ay(t)+z(t),\quad y(0)=y_{0}

Nu există o expresie analitică închisă pentru soluțiile ecuațiilor diferențiale neautonome de formă

{\frac {d}{dt}}y(t)=A(t)\,y(t),\quad y(0)=y_{0}

unde nu este o constantă, dar expansiunea Magnus face posibilă obținerea unei reprezentări a soluției ca o sumă infinită. $A$

Exponent suma

Pentru oricare două numere reale (scalare) și funcția exponențială satisface ecuația , aceeași proprietate este valabilă pentru matricele simetrice - dacă matricele și naveta (adică ), atunci . Cu toate acestea, pentru matricele care nu fac navetă, această egalitate nu este întotdeauna adevărată; în cazul general , formula Baker-Campbell-Hausdorff este utilizată pentru calcul . $X$ $y$ $e^{x+y}=e^{x}\cdot e^{y)$ $X$ $Y$ $XY=YX$ $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $\exp(X+Y)$

În cazul general, egalitatea nu implică asta și naveta. $\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y)$ $X$ $Y$

Pentru matricele hermitiene , există două teoreme notabile legate de urma exponenților matricei.

Inegalitatea Golden-Thompson

Dacă și sunt matrici hermitiene, atunci [2] : $A$ $H$

\operatorname {tr}\exp(A+H)\leqslant \operatorname {tr}(\exp(A)\exp(H))

unde este urma matricei . Nu este necesară comutativitatea pentru ca această declarație să fie valabilă. Există contraexemple care arată că inegalitatea Golden-Thompson nu poate fi extinsă la trei matrici și nu este întotdeauna un număr real pentru matricele hermitiene și . $\operatorname {tr}X$ $X$ $\operatorname {tr}(\exp(A)\exp(B)\exp(C))$ $A$ $B$ $C$

Teorema lui Lieb

Teorema lui Lieb, numită după Elliott Lieb , afirmă că pentru o matrice Hermitiană fixă , funcția este: $H$

f(A)=\operatorname {tr}\,\exp \left(H+\log A\right)

este concavă pe conul matricelor pozitiv-definite [3] .

Cartografiere exponențială

Exponentul unei matrice este întotdeauna o matrice nesingulară . Inversul matricei este , ceea ce este analog cu faptul că exponentul unui număr complex nu este niciodată zero. Deci, exponentul matricei definește maparea: $\exp X$ $\exp(-X)$

\exp \colon M_{n}(\mathbb {C} )\la \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )

de la spațiul tuturor matricelor de dimensiune până la întregul grup liniar de ordin , adică grupul tuturor matricelor de dimensiune nedegenerate . Această mapare este o suprajecție , adică fiecare matrice nesingulară poate fi scrisă ca exponent al unei alte matrice (pentru ca aceasta să aibă loc, este necesar să se ia în considerare câmpul numerelor complexe , nu numerelor reale ). $n\ ori n$ $n$ $n\ ori n$ $\mathbb {C}$ $\mathbb {R}$

Pentru oricare două matrice și avem inegalitatea $X$ $Y$

\|e^{{X+Y}}-e^{X}\|\leqslant \|Y\|e^{{\|X\|}}e^{{\|Y\|}}

unde denotă o normă matriceală arbitrară . Rezultă că maparea exponențială este continuă și Lipschitz pe submulțimi compacte . $\|\cdot \|$ $M_{n}(\mathbb {C} )$

Afişa:

t\mapsto e^{{tX}},\qquad t\in {\mathbb R}

definește o curbă netedă în grupul liniar general care trece prin elementul de identitate la . $t = 0$

Aplicații

Ecuații diferențiale liniare

Un exemplu de sistem omogen

Pentru sistem:

{\begin{matrice}x'&=&2x&-y&+z\\y'&=&&3y&-1z\\z'&=&2x&+y&+3z~.\end{matrice))

matricea sa este:

A={\begin{bmatrix}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{bmatrix}}~.

Se poate arăta că exponentul matricei este $tA$

e^{{tA}}={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e^{{2t}}-2t)&-2te^{{ 2t}}&e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)&2(t+ 1 )e^{{2t}}&-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(-1+e^{{2t}} + 2t)&2te^{{2t}}&e^{{2t}}(1+e^{{2t}})\end{bmatrix}}~,

deci soluția generală a acestui sistem este:

{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\frac {x(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(1+e ^{{2t}}-2t)\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}}-2t)\\e^{{2t}}(-1+e^{{ 2t}}+2t)\end{bmatrix}}+{\frac {y(0)}{2}}{\begin{bmatrix}-2te^{{2t}}\\2(t+1)e^ {{2t}}\\2te^{{2t}}\end{bmatrix}}+{\frac {z(0)}{2}}{\begin{bmatrix}e^{{2t}}(-1 +e^{{2t}})\\-e^{{2t}}(-1+e^{{2t}})\\e^{{2t}}(1+e^{{2t}} )\end{bmatrix}}~.

Un exemplu de sistem neomogen

Pentru a rezolva un sistem neomogen:

{\begin{matrix}x'&=&2x&-&y&+&z&+&e^{{2t}}\\y'&=&&&3y&-&z&\\z'&=&2x&+&y&+&3z&+&e^{{2t} }\end{matrice}}

se introduc notatiile:

A=\left[{\begin{array}{rrr}2&-1&1\\0&3&-1\\2&1&3\end{array}}\right]~,

și

{\mathbf {b}}=e^{{2t}}{\begin{bmatrix}1\\0\\1\end{bmatrix}}

Deoarece suma soluției generale a unei ecuații omogene și a unei soluții particulare dă soluția generală a unei ecuații neomogene, rămâne doar să găsim o soluție particulară. Pentru că:

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{(-u)A}}{\begin{bmatrix}e^{{ 2u}}\\0\\e^{{2u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}2e^{u}-2ue^{{2u}}&- 2ue^{{2u}}&0\\\\-2e^{u}+2(u+1)e^{{2u}}&2(u+1)e^{{2u}}&0\\\\ 2ue^{{2u}}&2ue^{{2u}}&2e^{u}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}\\0\\e^{{2u}} \end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}{\begin{bmatrix}e^{{2u}}(2e^{u}-2ue ^{{2u}})\\\\e^{{2u}}(-2e^{u}+2(1+u)e^{{2u}})\\\\2e^{{3u} }+2ue^{{4u}}\end{bmatrix}}\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}

{\mathbf {y}}_{p}=e^{{tA}}{\begin{bmatrix}-{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t-1) -16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t}}(3e^{t}(4t+4)-16)\\\\{1 \over 24}e^{{3t} }(3e^{t}(4t-1)-16)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2e^{t}-2te^{{2t}}&-2te^{{2t}} &0\\\\-2e^{t}+2(t+1)e^{{2t}}&2(t+1)e^{{2t}}&0\\\\2te^{{2t}} &2te^{{2t}}&2e^{t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{bmatrix}}~,

unde este condiția inițială. ${\mathbf c}={\mathbf y}_{p}(0)$

Generalizare: variația unei constante arbitrare

În cazul unui sistem neomogen, se poate folosi metoda de variație a unei constante arbitrare. Căutăm o soluție specială sub forma : ${\mathbf y}_{p}(t)=\exp(tA){\mathbf z}(t)$

{\begin{aliniat}{\mathbf {y}}_{p}'(t)&=(e^{{tA}})'{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA} }{\mathbf {z}}'(t)\\[6pt]&=Ae^{{tA}}{\mathbf {z}}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z} }'(t)\\[6pt]&=A{\mathbf {y}}_{p}(t)+e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)~.\end {aliniat}}

Pentru o soluție, trebuie să aibă loc următoarele: ${\mathbf y}_{p}$

{\begin{aligned}e^{{tA}}{\mathbf {z}}'(t)&={\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}'( t)&=(e^{{tA))^{{-1}}{\mathbf {b}}(t)\\[6pt]{\mathbf {z}}(t)&=\int _ { 0}^{t}e^{{-uA}}{\mathbf {b}}(u)\,du+{\mathbf {c}}~.\end{aligned}}

În acest fel:

{\begin{aligned}{\mathbf {y}}_{p}(t)&{}=e^{{tA}}\int _{0}^{t}e^{{-uA}}{ \mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\\&{}=\int _{0}^{t}e^{{(tu) A}}{\mathbf {b}}(u)\,du+e^{{tA}}{\mathbf {c}}\end{aligned}}~,

unde se determină din condiţiile iniţiale ale problemei. ${\mathbf {c}}$

Vezi și

Funcții trigonometrice dintr-o matrice

Note

↑ Piskunov H. S. Calcul diferențial și integral pentru instituțiile de învățământ superior, vol. 2 .: Manual pentru instituțiile de învățământ superior. - Ed. a XIII-a - M . : Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1985. - S. 544-547. — 560 p.
↑ Bhatia, R. Matrix Analysis (nespecificat) . - Springer, 1997. - V. 169. - (Texte de absolvire în matematică). — ISBN 978-0-387-94846-1 .
↑ EH Lieb. Funcții de urmărire convexe și conjectura Wigner-Yanase-Dyson // Adv . Matematică. : jurnal. - 1973. - Vol. 11 , nr. 3 . - P. 267-288 . - doi : 10.1016/0001-8708(73)90011-X .

Link -uri

Weisstein, Eric W., „Matrix Exponential” , MathWorld
Modul pentru Matrix Exponential