Matrice normală

În matematică , se spune că o matrice pătrată complexă A este normală dacă

A^{*}A=AA^{*}

unde A ∗ este matricea conjugat-transpusă a lui A . Astfel, o matrice este normală dacă și numai dacă comută cu conjugatul-transpune.

O matrice reală A satisface A ∗ = A T , deci este normal dacă A T A = AA T .

Normalitatea este un test convenabil pentru reductibilitatea la o formă diagonală - o matrice este normală dacă și numai dacă este similară unitar cu o matrice diagonală și, prin urmare, orice matrice A care satisface ecuația A ∗ A = AA ∗ poate fi redusă la o formă diagonală. (Se spune că două matrice A și B sunt similare unitar dacă există o matrice unitară S astfel încât A = S -1 BS .)

Conceptul de matrice normală poate fi extins la operatori normali în spații Hilbert de dimensiuni infinite și elemente normale în C*-algebre .

Ocazii speciale

Dintre matricele complexe, toate matricele unitare , hermitiene și hermitiene oblice sunt normale. Dintre matricele reale, toate matricele ortogonale , simetrice și oblice sunt normale. Cu toate acestea, nu este adevărat că toate matricele normale sunt fie unitare, fie hermitiene, fie skew-hermitiene. De exemplu,

A={\begin{pmatrix}1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}}

nu este nici unitar, nici hermitian, nici skew-hermitian, deși este normal, deoarece

AA^{*}={\begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}}=A^{*}A.

Consecințele

Propoziție. O matrice triunghiulară normală este diagonală .

Fie A o matrice triunghiulară superioară normală. Deoarece ( A ∗ A ) ii = ( AA ∗ ) ii , primul rând trebuie să aibă aceeași normă ca și prima coloană:

\left\|Ae_{1}\right\|^{2}=\left\|A^{*}e_{1}\right\|^{2}.

Primele elemente ale primului rând și ale primei coloane sunt aceleași, iar restul primei coloane este format din zerouri. De aici rezultă că în șir toate elementele de la 2 la n trebuie să fie zero. Continuând acest raționament pentru perechile rând/coloană cu numere de la 2 la n , obținem că A este diagonală.

Conceptul de normalitate este important deoarece matricele normale sunt exact acelea despre care se referă teorema spectrală :

Propoziție. O matrice A este normală dacă și numai dacă există o matrice diagonală Λ și o matrice unitară U astfel încât A = U Λ U ∗ .

Elementele diagonale ale matricei Λ sunt valori proprii , iar coloanele lui U sunt vectori proprii ai matricei A. (valorile proprii din Λ sunt în aceeași ordine cu vectorii lor proprii corespunzători din U ).

O altă modalitate de a afirma teorema spectrală este să spunem că matricele normale sunt exact acele matrice care pot fi reprezentate ca o matrice diagonală prin alegerea unei baze ortonormale adecvate pentru spațiul C n . De asemenea, se poate susține că o matrice este normală dacă și numai dacă spațiul său propriu coincide cu C n și vectorii proprii sunt ortogonali în raport cu produsul interior standard în C n .

Teorema spectrală pentru matrice normale este un caz special de descompunere Schur mai generală , care este valabilă pentru toate matricele pătrate. Fie A o matrice pătrată. Apoi, în conformitate cu descompunerea Schur, este similară unitar cu o matrice triunghiulară superioară, să spunem B . Dacă A este normal, atunci B este și el normal. Dar atunci B trebuie să fie diagonală din motivul menționat mai sus.

Teorema spectrală permite clasificarea matricelor normale în termeni de spectru, de exemplu:

Propoziție. O matrice normală este unitară dacă și numai dacă spectrul său se află pe cercul unitar al planului complex. Propoziție. O matrice normală este autoadjunctă dacă și numai dacă spectrul ei este conținut în R .

În general, suma sau produsul a două matrice normale nu este neapărat o matrice normală. Cu toate acestea, se face următoarele:

Propoziție. Dacă A și B sunt normali și AB = BA este valabil , atunci atât AB , cât și A + B sunt de asemenea normale. Mai mult, există o matrice unitară U astfel încât UAU ∗ și UBU ∗ sunt diagonale. Cu alte cuvinte, A și B sunt reductibili împreună la forma diagonală .

În acest caz particular, coloanele matricei U ∗ sunt vectori proprii atât ai lui A cât și ai B și formează o bază ortonormală în C n . Din teoreme rezultă afirmația că matricele comutatoare pe un câmp închis algebric sunt reductibile în comun la formă triunghiulară și că o matrice normală este reducabilă la una diagonală, în acest din urmă caz cu adăugarea că aceasta se poate face simultan. .

Definiții echivalente

Se poate oferi o listă destul de lungă de definiții echivalente ale unei matrice normale. Fie A o matrice complexă n × n . Următoarele afirmații sunt echivalente:

A este normal.
A este reductibilă la forma diagonală prin intermediul unei matrice unitare.
Toate punctele din spațiu pot fi obținute ca combinații liniare ale unui set de vectori proprii ortonormali ai matricei A .
|| Topor || = || A ∗ x || pentru orice x .
Norma Frobenius a unei matrice A poate fi calculată din valorile proprii ale matricei A : $\operatorname {tr}(A^{*}A)=\sum \nolimits _{j}|\lambda _{j}|^{2}.$
Partea hermitiană și partea oblică-hermitiană a matricei A fac naveta. $(A+A^{\ast })/2$ $(AA^{{\ast )))/2$
A ∗ este un polinom (de grad ≤ n − 1 ) în A [1] .
A ∗ = AU pentru o matrice unitară U [2] .
U și P fac naveta, unde U și P reprezintă o descompunere polară a lui A = UP într-o matrice unitară U și o matrice pozitiv-definită P .
A comută cu o matrice normală N care are valori proprii diferite.
i = | λ i | pentru toate 1 ≤ i ≤ n , unde A are valori proprii singulare σ 1 ≥ ... ≥ σ n și vectori proprii | λ 1 | ≥ ... ≥ | λ n |. [3]
Norma operatorului unei matrice normale A este egală cu raza numerică și spectrală matricei A . Inseamna:

\sup _{{\|x\|=1}}\|Ax\|=\sup _{{\|x\|=1}}|\langle Ax,x\rangle |=\max\{|\ lambda |:\lambda \in \sigma (A)\}

Unele, dar nu toate, definițiile enumerate mai sus pot fi generalizate la operatori normali pe spații Hilbert cu dimensiuni infinite. De exemplu, un operator mărginit care satisface (9) este doar cvasinormal .

Analogii

Este uneori util (și uneori înșelător) să luăm în considerare relațiile diferitelor tipuri de matrice normale ca o analogie cu diferite tipuri de numere complexe:

Matricele inversabile sunt analoge numerelor complexe diferite de zero
Matricea conjugat-transpusă este analogă cu numărul conjugat
Matricele unitare sunt analoge numerelor complexe cu valoarea absolută 1
Matricele hermitiene sunt analoge ale numerelor reale
Matricele definite pozitive hermitiene sunt analoge ale numerelor reale pozitive
Matricele Skew-Hermitiene sunt analoge ale numerelor pur imaginare

Se pot încorpora numere complexe în matrici reale normale 2 × 2 prin mapare

a+bi\mapsto {\begin{pmatrix}a&b\\-b&a\end{pmatrix}},

iar această încorporare păstrează adunarea și înmulțirea. Este ușor de verificat că în acest caz se păstrează toate analogiile de mai sus.

Note

↑ Demonstrație: Dacă A este normal, utilizați formula de interpolare Lagrange pentru a construi un polinom P astfel încât λ j = P ( λ j ) , unde λ j sunt valorile proprii ale matricei A .
↑ Horn, pp. 109
↑ Roger A. Horn, Charles R. Johnson. Subiecte în analiza matricelor . - Cambridge University Press, 1991. - P. 157 . — ISBN 978-0-521-30587-7 .

Link -uri

Horn, Roger A. & Johnson, Charles R. (1985), Matrix Analysis , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-38632-6 .