Funcția aritmetică

O funcție aritmetică este o funcție definită pe mulțimea numerelor naturale și care ia valori din mulțimea numerelor complexe . $\mathbb {N}$ $\mathbb {C}$

Definiție

După cum reiese din definiție, o funcție aritmetică este orice funcție

f\colon \mathbb {N} \to \mathbb {C}

Denumirea de funcție aritmetică se datorează faptului că în teoria numerelor există multe funcții ale unui argument natural care exprimă anumite proprietăți aritmetice . Prin urmare, vorbind informal, o funcție aritmetică este înțeleasă ca o funcție care „exprimă o proprietate aritmetică” a unui număr natural (vezi exemplele de funcții aritmetice de mai jos ). $f(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

Multe funcții aritmetice luate în considerare în teoria numerelor sunt de fapt cu valori întregi.

Operații și concepte aferente

Suma unei funcții aritmetice este o funcție definită ca $f$ $F:[0,+\infty )\la \mathbb {C}$

F(x)=\sum _{n\leq x}f(n).

Această operație este „analogul discret” al integralei nedefinite; în acest caz, deși funcția inițială a fost definită numai pe , se dovedește a fi convenabil să considerăm suma ei ca definită pe întreaga semiaxă pozitivă (și, desigur, este constantă pe bucăți). $\mathbb {N}$

Convoluția Dirichlet a două funcții aritmetice f și g este funcția aritmetică h definită de regula

h(n)=\sum _{d|n}f(d)g(n/d).

O funcție aritmetică f poate fi asociată cu „funcția sa generatoare” - seria Dirichlet

\Phi _{f}(s)=\sum _{n}f(n)n^{-s}.

În acest caz, convoluția Dirichlet a două funcții aritmetice corespunde produsului funcțiilor lor generatoare.

Înmulțire punctual cu logaritm,

f\mapsto f',\quad f'(n)=f(n)\cdot \ln n,

este o derivație a algebrei funcțiilor aritmetice: în ceea ce privește convoluția, satisface regula Leibniz,

(f*g)'=f'*g+f*g'.

Trecerea la funcția generatoare transformă această operație în diferențiere obișnuită.

Funcții aritmetice notabile

Numărul de divizori

O funcție aritmetică este definită ca numărul de divizori pozitivi ai unui număr natural : $\tau \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\tau (n)=\sum _{d|n}1

Dacă și sunt coprime , atunci fiecare divizor al unui produs poate fi reprezentat în mod unic ca un produs al divizorilor și divizorilor lui , și invers, fiecare astfel de produs este un divizor al lui . Rezultă că funcția este multiplicativă : $m$ $n$ $mn$ $m$ $n$ $mn$ $\tau$

\tau (mn)=\tau (m)\tau (n)

Dacă este descompunerea canonică a naturalului , atunci datorită multiplicativității $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\tau (n)=\tau (p_{1}^{s_{1)))\tau (p_{2}^{s_{2)))\ldots \tau (p_{r}^{ s_{r)))

Deoarece divizorii pozitivi ai unui număr sunt numere , atunci $p_{i}^{s_{i)}$ $s_{i}+1$ $1,p_{i},\ldots ,p_{i}^{s_{i)}$

\tau (n)=(s_{1}+1)(s_{2}+1)\ldots (s_{r}+1)

Numărul de divizori ai unui întreg mare n crește în medie ca [1] . Mai precis, vezi formula Dirichlet . $\ln n$

Suma divizorilor

Funcția este definită ca suma divizorilor unui număr natural : $\sigma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$

\sigma (n)=\sum _{d|n}d

Generalizând funcțiile și pentru un complex arbitrar, în general vorbind , se poate determina - suma puterilor --a ale divizorilor pozitivi ai unui număr natural : $\tau (n)$ $\sigma(n)$ $k$ $\sigma _{k}(n)$ $k$ $n$

\sigma _{k}(n)=\sum _{d|n}d^{k)

Folosind notația Iverson , se poate scrie

\sigma _{k}(n)=\sum _{d}d^{k}[\,d|n\,]

Funcția este multiplicativă: $\sigma _{k)$

m\perp n\Rightarrow ~\sigma _{k}(mn)=\sigma _{k}(m)\sigma _{k}(n)

Dacă este descompunerea canonică a naturalului , atunci $n=\prod _{i=1}^{r}p_{i}^{s_{i))$ $n$

\sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {p_{i}^{(s_{i}+1)k}-1}{p_ {i}^{k}-1}}

Suma divizorilor lui n crește în medie ca funcție liniară a lui cn, unde constanta c găsită de Euler este [1] . $c=\zeta (2)=\pi ^{2}/6$

Funcția Euler

Funcția Euler , sau totient , este definită ca numărul de numere întregi pozitive care nu depășesc , coprim la . $\varphi (n)$ $n$ $n$

Folosind notația Iverson , se poate scrie:

\varphi (n)=\sum _{1\leq k\leq n}[k\perp n]

Funcția Euler este multiplicativă:

m\perp n\Rightarrow ~\varphi (mn)=\varphi (m)\varphi (n)

În formă explicită, valoarea funcției Euler este exprimată prin formula:

\varphi (n)=n\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\ dreapta)\puncte \left(1-{\frac {1}{p_{r))}\right)

unde sunt divizori primi diferiți . $p_{1},p_{2},\ldots,p_{r)$ $n$

Funcția Möbius

Funcția Möbius poate fi definită ca o funcție aritmetică care satisface următoarea relație: $\mu(n)$

\sum _{d|n}\mu (d)={\begin{cases}1,&n=1\\0,&n>1\end{cases))

Adică, suma valorilor funcției Möbius peste toți divizorii unui număr întreg pozitiv este egală cu zero dacă , și este egală cu dacă . $n$ $n>1$ $unu$ $n=1$

Se poate demonstra că o singură funcție satisface această ecuație și poate fi dată explicit prin următoarea formulă:

\mu (n)={\begin{cases}(-1)^{r},&n=p_{1}p_{2}\ldots p_{r}\\0,&p^{2}| n\\1,&n=1\end{cazuri}}

Aici , sunt diverse numere prime și este un număr prim. Cu alte cuvinte, funcția Möbius este egală dacă nu fără pătrat (adică divizibilă cu pătratul unui număr prim) și egală în caz contrar (plus sau minus este ales în funcție de paritatea numărului de divizori primi ). $p_{i}$ $p$ $\mu(n)$ $0$ $n$ $\pm 1$ $n$

Funcția Möbius este o funcție multiplicativă . Importanța funcției Möbius în teoria numerelor se datorează formulei de inversare a lui Möbius .

Note

↑ 1 2 V. și Arnold. Dinamica, statistica și geometria proiectivă a câmpurilor Galois. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 p.

Vezi și

Funcția multiplicativă

Literatură

Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor . - M. - L. : GITTL, 1952. - 180 p.
Nesterenko Yu. V. Teoria numerelor: un manual pentru studenți. superior manual stabilimente. - M . : Centrul de Editură „Academia”, 2008. - 272 p. - ISBN 978-5-7695-4646-4 .
Chandrasekharan K. Introducere în teoria analitică a numerelor = Introducere în teoria analitică a numerelor. - M . : „Mir”, 1974. - 188 p.