Formula Weyl asimptotică

Formula asimptotică a lui Weil leagă volumul unei varietăți riemanniene de comportamentul asimptotic al valorilor proprii ale Laplacianului său .

Istorie

Raportul a fost obținut de Hermann Weyl în 1911. Inițial, a fost formulat doar pentru regiunile spațiului euclidian. În 1912 a prezentat o nouă demonstrație bazată pe metode variaționale . [unu]

Formulare

Fie  o varietate Riemanniană -dimensională. Notați prin numărul de valori proprii (ținând cont de multiplicitate) care nu depășește , pentru problema Dirichlet pe . Apoi

,

unde denotă volumul bilei unitare în spațiul euclidian -dimensional. [2]

Precizări

Estimarea pentru restul a fost îmbunătățită de multe ori.

Probabil că următorul termen din asimptotice pentru este proporțional cu aria graniței . Având în vedere acest termen, estimarea pentru restul trebuie să fie . În special, cu condiția că nu există graniță, estimarea pentru termenul rămas din formula de mai sus ar trebui să fie .

Note

  1. H. Weyl. Das asymptotische Verteilungsgesetz linearen partillen Differentialgleichungen  (germană)  // Math. Ann.  : magazin. - 1912. - Bd. 71 . - S. 441-479 .
  2. Weyl, Hermann. Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte  (neopr.)  // Nachrichten der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1911. - S. 110-117 .
  3. R. Seeley. O estimare asimptotică ascuțită pentru valorile proprii ale laplacianului într-un domeniu al // Adv. Matematică.. - 1978. - Vol. 29, nr. 2. - P. 244-269. - doi : 10.1016/0001-8708(78)90013-0 .
  4. JJ Duistermaat, VW Guillemin. Spectrul operatorilor eliptici pozitivi și bicaracteristicile periodice // Inventiones mathematicae. - 1975. - Vol. 29, nr. 1. - P. 39-79. - doi : 10.1007/BF01405172 .
  5. V. Ya. Ivry. Pe al doilea termen al asimptoticii spectrale pentru operatorul Laplace-Beltrami pe varietăţi cu graniţă  // Funct. analiza şi aplicaţiile acesteia.- 1980. - V. 14 , Nr. 2 . - S. 25-34 .