Rapiditate

Rapiditate ( ing. rapiditate , uneori folosiți și [1] sunt termenii hiperviteză și unghi de rotație Lorentz ) - în cinematica relativistă , o funcție monoton crescătoare a vitezei , care tinde spre infinit atunci când viteza tinde spre viteza luminii . Spre deosebire de viteza, pentru care legea adunării este netrivială, viteza este caracterizată printr-o lege simplă de adunare („viteza este aditivă”). Prin urmare, în problemele legate de mișcările relativiste (de exemplu, cinematica reacțiilor particulelor în fizica de înaltă energie), este adesea mai convenabil să folosiți formalismul rapidităților decât vitezele obișnuite.

Definiție și proprietăți

Viteza se exprimă prin formula:

\theta =c\,\operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}={\frac {c}{2}}\ln {\frac {1+{\dfrac {v}{ c}}}{1-{\dfrac {v}{c}}}},

Unde

$\theta$ - viteza,
$v$ - viteza normala
$c$ este viteza luminii,
$\operatorname {Arth} x$ -zonatangent . _

Tangenta de zonă (sau arc tangente hiperbolice ) este definită în intervalul argumentului de la −1 la +1; cu functie $\operatorname {Arth} x\equiv {\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}$ $x\to \pm 1$ $\operatorname {Arth} x\to \pm \infty .$

Astfel, viteza are dimensiunea vitezei iar când viteza se schimbă de la la aceasta se schimbă de la la . Uneori este introdus și parametrul viteză - o mărime adimensională , care uneori este numită și viteză (în special cu utilizarea obișnuită a sistemului de unități în fizica energiei înalte, unde , ceea ce simplifică foarte mult formulele; cu această definiție, viteza devine adimensională și coincide cu parametrul de viteză). $-c$ $+c$ $-\infty$ $+\infty$ $\varphi \equiv \theta /c\equiv \operatorname {Arth} {\frac {v}{c}}$ $c=1$

În limita vitezelor mici, viteza este aproximativ egală cu viteza:

\theta =v\left(1+{\frac {1}{3}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+...\right)\ aproximativ v

la .

v\ll c

În cazul ultrarelativista , parametrul de rapiditate poate fi exprimat în termeni de energie și impuls longitudinal (unde α este unghiul de plecare) după cum urmează: $E\gg m$ $p_{\|}=p\cos \alpha$

\varphi ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp_{\|}}{E-cp_{\|}}}.

În acest caz, energia și impulsul longitudinal al particulei pot fi exprimate în termeni de masa particulei, impulsul transversal și parametrul de viteză: $p_{\perp}=p\sin \alpha$

E={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operatorname {ch} \varphi ,

p_{\|}={\sqrt {m^{2}c^{4}+p_{\perp }^{2}c^{2))}\operatorname {sh} \varphi .

Factorul Lorentz

O cantitate folosită frecvent asociată cu viteza este factorul Lorentz sau factorul Lorentz , numit după G. A. Lorentz și definit ca

\gamma \equiv {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2)))).

Factorul Lorentz este egal cu cosinusul hiperbolic al parametrului viteză:

\gamma =\operatorname {ch} \varphi .

Pe măsură ce viteza crește de la 0 la , factorul Lorentz crește de la 1 la . $c$ $\gamma$ $+\infty$

Sinusul hiperbolic al parametrului viteză este egal cu produsul factorului Lorentz și viteza adimensională:

\beta \gamma =\operatorname {sh} \varphi .

Aditivitatea vitezei

Fie ca într-un cadru de referință inerțial două particule să se miște de-a lungul unei linii drepte, viteza uneia dintre ele este egală cu , iar viteza celei de-a doua în raport cu prima este egală (vitezele pot fi atât pozitive, cât și negative). Să notăm viteza celei de-a doua particule din sistem ca . La viteze mici (comparativ cu viteza luminii ), legea galileană a adunării vitezelor este aproximativ îndeplinită . Cu toate acestea, în cazul relativist, această formulă nu funcționează, iar viteza celei de-a doua particule trebuie calculată folosind transformările Lorentz . Legea relativistă a adunării vitezelor $K$ $v_{1}$ $v'_{2)$ $K$ $v_{2}$ $c$ ${\displaystyle v_{2}=v_{1}+v'_{2))$

v_{2}={\frac {v_{1}+v'_{2}}{1+{\dfrac {v_{1}v'_{2}}{c^{2}}} }}

diferă de numitorul galilean, care este aproape de unitate la viteze mici. Luați în considerare vitezele corespunzătoare vitezelor . Se pare că viteza celei de-a doua particule din cadrul de referință este egală cu suma vitezelor: $\theta \equiv c\,\mathrm {Arth} {\frac {v}{c)}$ $K$

\theta _{2}=\theta _{1}+\theta '_{2}.

Comoditatea scrierii legii adunării vitezelor în termeni de viteze a condus la faptul că această mărime este destul de utilizată în cinematica relativistă, în special în fizica acceleratorilor. Cu toate acestea, trebuie amintit că adăugarea rapidităților coincide în formă cu adăugarea vectorului galilean de viteze numai pentru mișcarea unidimensională a particulelor.

Se introduce și viteza totală , care este aditivă sub transformările Lorentz și reprezintă o distanță în spațiul vitezelor. Viteza este componenta longitudinală a vitezei totale. $\vartheta =c\cdot {\frac {1}{2}}\ln {\frac {E+cp}{E-cp)),$

Sensul geometric al vitezei

În spațiul Minkowski, rapiditatea este unghiul dintre tangenta la linia mondială a particulei și axa timpului din cadrul de referință de bază. În formalismul Minkowski ( ) acest unghi este imaginar . $x_{0}=ict$

În formalismul numerelor complexe hiperbolice (cunoscute și ca numere duble sau numere paracomplexe - o variantă a numerelor complexe în care unitatea imaginară j este definită prin relația j 2 = +1 ), un punct din spațiul Minkowski este reprezentat de un paracomplex. numărul z = ρ e j φ = ρ(ch φ + j sh φ) , unde φ și ρ sunt reale. În acest caz, unghiul φ este viteza unei particule care se deplasează uniform de la origine și trece prin punctul z , iar ρ este intervalul de la origine până la punctul z (adică timpul propriu al particulei care a trecut de la trecând prin origine până la trecerea prin z ). Transformarea Lorentz este determinată prin înmulțirea coordonatelor spațiu-timp exprimate prin numere paracomplexe cu un număr paracomplex cu modul unitar λ(φ) = e j φ . Ca rezultat, toate intervalele sunt păstrate, iar planul paracomplex Minkowski este rotit cu un unghi φ . Două transformări succesive Lorentz arată aditivitatea rapidității, similară cu aditivitatea unghiului de rotație:

λ(φ) λ(ψ) = e j φ e j ψ = e j (φ + ψ) = λ(φ + ψ).

Unele cantități de relativitate specială exprimate în termeni de viteză

Elan relativist:

p=mc\cdot \operatorname {sh} {\frac {\theta {c)}=mc\cdot \operatorname {sh} \varphi ,

Unde:

m este masa,
c este viteza luminii,
φ = θ/ c este parametrul de viteză (viteza adimensională).

Energie totală:

E=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} {\frac {\theta {c))=mc^{2}\cdot \operatorname {ch} \varphi .

Viteza in statie de service:

v=c\cdot \operatorname {th} {\frac {\theta {c))=c\cdot \operatorname {th} \varphi .

Viteza fara dimensiuni

\beta =\operatorname {th} \varphi .

Efectul Doppler relativist (dacă vectorul viteză coincide cu direcția către sursă):

1+z=e^{\theta /c}=e^{\varphi},

unde este parametrul redshift . $z$

Vezi și

Pseudoviteza
Lorenz boost

Literatură

Baburova O. V. Cinematica relativistă și geometria lui Lobaciovski // Soros Educational Journal. - 2004. - T. 8 . - S. 77-84 . (Rusă)
Grishin V. G. Rapiditate // Enciclopedia fizică : [în 5 volume] / Cap. ed. A. M. Prohorov . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1988. - T. 1: Aharonov - Efectul Bohm - Rânduri lungi. - S. 233. - 707 p. — 100.000 de exemplare.

Note

↑ Kopylov G.I. Fundamentele cinematicii rezonanțelor. — M .: Nauka, 1970.