Unde Rayleigh

Undele Rayleigh sunt unde acustice de suprafață . Ele sunt numite după Rayleigh , care le-a prezis teoretic în 1885 [1] .

Descriere

Undele Rayleigh se propagă lângă suprafața unui corp solid. Viteza de fază a unor astfel de unde este direcționată paralel cu suprafața. Particulele mediului dintr-o astfel de undă fac mișcare eliptică în planul sagital (în care se află vectorul viteză și normala la suprafață). Amplitudinile de oscilație se diminuează odată cu distanța de la suprafață conform legilor exponențiale, iar energia undei este concentrată în regiunea la o distanță de ordinul unei lungimi de undă față de suprafață [2] .

Unda Rayleigh într-un corp izotrop

Ecuația de mișcare a unui volum infinit mic al unui mediu omogen, izotrop și ideal elastic cu o densitate ρ poate fi scrisă ca:

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}}{\partial t^2}=\mu\Delta\textbf{U}+(\lambda+\mu)\,\textrm{grad}\,\textrm {div}\textbf{U},

(unu)

unde U este deplasarea unui volum infinit mic față de poziția de echilibru, λ și μ sunt constante elastice , Δ este operatorul Laplace . Pentru o ecuație de undă dată, se caută soluții sub forma unei suprapuneri de deplasări transversale și longitudinale U = U t + U l , unde U l =grad φ și U t =rot ψ . φ și ψ sunt potențiale scalare și vectoriale. Ecuația ( 1 ) pentru noi necunoscute este o ecuație de undă pentru componente independente de deplasare [3] :

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_l}{\partial t^2}-(\lambda+2\mu)\Delta\textbf{U}_l=0,

(2.1)

\rho\frac{\partial^2 \textbf{U}_t}{\partial t^2}-\mu\Delta\textbf{U}_t=0.

(2,2)

Dacă unda se propagă de-a lungul axei x, atunci numai oscilațiile în planul (x, z) pot fi luate în considerare pentru cazul izotrop. Luând în considerare independența componentelor față de y pentru o undă armonică plană, ecuațiile de undă pentru potențiale iau forma:

\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-k_l^2\frac{\partial^2 \phi}{ \partial t^2}=0,

(3.1)

\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}-k_t^2\frac{\partial^2 \psi}{ \partial t^2}=0,

(3,2)

unde sunt numerele de unde pentru undele longitudinale și transversale. Soluțiile acestor ecuații, dacă luăm doar soluții amortizate, sunt prezentate sub formă de unde plane [4] : $k_l=\omega\sqrt{\rho/(\lambda+2\mu)},$ $k_t=\omega\sqrt{\rho/\mu},$

\phi=A\textrm{exp}[-qz+i(kx-\omega t)],

(4,1)

\psi=B\textrm{exp}[-sz+i(kx-\omega t)],

(4,2)

unde ; ; ; A și B sunt constante arbitrare. Aceste soluții reprezintă soluția generală a ecuației de undă pentru o undă amortizată și pentru a găsi o soluție particulară, este necesar să se stabilească condiții la limită pe suprafața mediului. $q^2=k^2-k_l^2$ $s^2=k^2-k_t^2$ $k^2>k_t^2>k_l^2$

Componentele deplasării sunt reprezentate astfel:

U_x=\frac{\partial \phi}{\partial x}-\frac{\partial \psi}{\partial z},

(5,1)

U_z=\frac{\partial \phi}{\partial z}+\frac{\partial \psi}{\partial x}.

(5,1)

În cazul unei granițe libere, componentele tensoarelor de stres iau valori zero:

T_{zz}=\lambda\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}\right)+2 \mu\left(\frac{\partial^2 \phi}{\partial z^2}-\frac{\partial^2 \psi}{\partial x\partial z}\right)=0,

(6,1)

T_{xz}=\mu \left(2{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x\partial z))+{\frac {\partial ^{2}\psi } {\partial x^{2))}-{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2))}\right)=0.

(6,2)

După înlocuirea soluțiilor ( 4 ), obținem un sistem omogen de ecuații liniare față de amplitudinile A și B , care are o soluție netrivială numai dacă determinantul sistemului este egal cu zero ( ecuația Rayleigh ), și anume [5 ] :

\eta^6-8\eta^4+8(3-2\xi^2)\eta^2-16(1-\xi^2)=0,

(6)

unde , . Această ecuație are o singură rădăcină legată de unda Rayleigh, care depinde doar de raportul lui Poisson ν: $\eta=k_t/k$ $\xi=k_l/k_t$

\eta_R=\frac{0,87+1,12\nu}{1+\nu}.

(7)

De aici, componentele deplasării pentru unda Rayleigh se găsesc [6] :

U_x=Ak_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2q_Rs_R}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\left[ i\left(k_Rx-\omega t-\frac{\pi}{2}\right)\right],

(8,1)

U_z=Aq_R\left(\textrm{exp}(-q_Rz)-\frac{2k_R^2}{k_R^2+s_R^2}\textrm{exp}(-s_Rz)\right)\textrm{exp}\ stânga[i\left(k_Rx-\omega t\right)\right].

(8,2)

Aplicații practice ale undelor de tip Rayleigh

Undele de tip Rayleigh (unde pseudo-Rayleigh) sunt utilizate cu succes în studiile seismice de inginerie pentru a studia parametrii elastici ai rocilor și solurilor situate în spatele căptușelii tunelurilor [7] , betonului armat, plăcilor de beton, zidăriei sau pavajului [8] . În cazul creșterii vitezelor cu adâncimea (de regulă, în studiile de la suprafața zilei), vitezele undelor transversale din stratul inferior sunt determinate din curbele de dispersie ale undelor pseudo-Rayleigh (vezi figura). Această metodă este utilizată pe scară largă în practică și justificată din punctul de vedere al teoriei elasticității.

Note

↑ Lord Rayleigh. Pe undele propagate de-a lungul suprafeței plane a unui solid elastic // Proc . London Math. soc. : jurnal. - 1885. - Vol. s1-17 , nr. 1 . - P. 4-11 .
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. unsprezece.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. 7.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. opt.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. 9.
↑ Viktorov I. A., 1981 , p. zece.
↑ Evaluarea proprietăților și stării solurilor din spatele căptușelii tunelurilor de transport conform tomografiei seismice 2D. Boyko O. V. (link inaccesibil) . Preluat la 10 iulie 2015. Arhivat din original la 10 iulie 2015. (nedefinit)
↑ Determinarea proprietăților fizice și mecanice și a caracteristicilor de rezistență ale solurilor acoperite cu zidărie, beton, structuri din beton armat și pavaj. (link indisponibil) . Data accesului: 10 iulie 2015. Arhivat din original pe 9 iulie 2015. (nedefinit)

Literatură

Viktorov IA Undele de suprafață sonore în solide. — M .: Nauka, 1981. — 287 p.

Dicționare și enciclopedii	mare chinezesc Britannica (online)