Viteza fazei

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 6 iunie 2019; verificările necesită 23 de modificări .

Viteza de fază - viteza de mișcare a unui punct, care are o fază constantă de mișcare oscilativă în spațiu, de-a lungul unei direcții date. De obicei, se ia în considerare direcția care coincide cu direcția vectorului de undă , iar faza se numește viteza măsurată în această direcție, cu excepția cazului în care se indică în mod explicit altfel (adică, dacă o altă direcție decât direcția vectorului de undă nu este în mod explicit indicat). Viteza de fază în direcția vectorului de undă coincide cu viteza frontului de fază (suprafața de fază constantă). Poate fi considerată dacă se dorește ca mărime vectorială.

Notația cea mai des folosită: . $v_{\phi }\$

Strict vorbind, conceptul de fază este aplicabil numai atunci când descriu unde armonice sau monocromatice (adică sinusoidale sau fiind exponenți imaginari ) și, de asemenea, - aproximativ - pentru unde de formă similară (de exemplu, pachete de unde aproape monocromatice) sau ușor de redus la sinusoidal (de exemplu, unde sferice de formă ) sau, ceea ce este mai puțin corect, atunci când descriu unde periodice de o formă diferită. Cu toate acestea, o undă (practic) de orice formă poate fi reprezentată folosind transformata Fourier ca o sumă de unde monocromatice, iar apoi conceptul de fază și viteză de fază poate fi aplicat la fiecare dintre aceste unde destul de strict (totuși, apoi fiecare undă monocromatică în expansiune va, în general vorbind, , viteza de fază proprie, care nu coincide cu altele; numai în cazuri speciale toate pot coincide exact sau pot fi apropiate). $\sin(\phi)$ $e^{i\phi }$ $\cos(\phi )/r$

Pentru a descrie unde altele decât cele armonice (în special pentru descrierea pachetelor de unde ), ei folosesc, pe lângă conceptul de viteză de fază, conceptul de viteză de grup (care descrie mișcarea nu a unei creaste separate într-un pachet de undă, ci a acesteia). plic, de exemplu, maximul plicului).

Formule

Formula de bază care determină viteza de fază a unei unde (monocromatice) în spațiul unidimensional sau viteza de fază de-a lungul vectorului de undă pentru o undă într-un spațiu dimensional superior este:

v_{\phi}=\omega /k

care este o consecinţă directă a faptului că faza unei unde plane într-un mediu omogen este

\phi =\omega t-kx

pentru cazul unidimensional

sau pentru o dimensiune mai mare de unu. $\phi =\omega t-{\vec k}\cdot {\vec x}$

Relația specifică dintre și - așa-numita lege de dispersie - pentru fiecare tip specific de undă este de obicei obținută dintr-o ecuație diferențială care descrie acest tip de undă, substituind o undă monocromatică (cel mai adesea plană) în ea [1] . $\omega$ $k$

În cazul în care viteza de fază nu depinde pentru un anumit tip de unde de frecvența sau numărul de undă (și direcția vectorului de undă), viteza de grup coincide cu viteza de fază.

Viteza de fază a undei electromagnetice

În vid, pentru o undă electromagnetică de orice frecvență (cel puțin în acele intervale de frecvențe și intensități care au fost studiate), viteza de fază, măsurată în direcția vectorului de undă, este întotdeauna egală cu aceeași valoare - viteza de lumină în vid , o constantă universală.

În medii, legea de dispersie a undelor electromagnetice este destul de complicată (vezi Dispersia luminii ), iar viteza de fază se poate schimba semnificativ, până la valori negative [2] .

Pentru ecuația de undă

Orice undă descrisă de ecuația de undă

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=C^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}

are o viteză de fază C (mai mult , C aici este un anumit coeficient constant; acest coeficient este egal cu viteza luminii în ecuația de undă pentru undele electromagnetice).

Acest rezultat se obține prin înlocuirea directă a unei undă monocromatică a formei în această ecuație și apoi calculând . $\cos(kx-\omega t)$ $\omega /k$

Acest rezultat este valabil nu numai pentru ecuația de undă din spațiul unidimensional (am folosit-o mai sus doar pentru concizie; totul rămâne exact același pentru orice număr de derivate în raport cu coordonatele din partea dreaptă).

Pentru ecuația Klein–Gordon

Ecuația Klein-Gordon

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2)}}=C^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2 }}}+C^{4}m^{2}f

deosebindu-se doar în ultimul termen, dă cu o substituție similară

{\displaystyle \omega ^{2}=C^{2}k^{2}+C^{4}m^{2))

Unde:

\omega ={\sqrt {C^{2}k^{2}+C^{4}m^{2}}}

și

v_{\varphi }=\omega /k=C{\sqrt {1+C^{2}m^{2}/k^{2))}

Această expresie este întotdeauna mai mare decât C pentru m real diferit de zero și poate fi arbitrar mare ca k → 0.

Viteza de fază ca vector

Într-un sens, viteza de fază nu este un vector. Spunând aceasta, ei înseamnă faptul că vitezele de fază în direcții diferite (de exemplu, de-a lungul direcțiilor axelor de coordonate), definite așa cum este descris mai sus, nu sunt nici coordonate, nici proiecții [3] ale vreunui vector [4] . Inclusiv, evident, nu sunt proiecții sau coordonate ale unui vector care coincide în direcție cu vectorul de undă și cu o valoare absolută egală cu viteza fazei în această direcție.

Dar acest lucru, desigur, nu împiedică, dacă se dorește, introducerea unui vector de viteză de fază pur formal, care, prin definiție, coincide în direcție cu vectorul de undă și cu o valoare absolută egală cu viteza de fază în această direcție. Întrebarea dacă este corect să numim un astfel de vector vector viteză de fază este pur terminologică (convențională). Singurul fapt este că proiecțiile acestui „vector” pe axele de coordonate sau componentele de-a lungul acestor axe nu vor corespunde cu viteza fazei de-a lungul acestor direcții, în conformitate cu definiția vitezei fazei în direcția dată la începutul articolului. (și, în general, cu o definiție rezonabilă, cu excepția celei pur formale descrise în acest paragraf).

Mai exact, pentru cazul unei unde armonice plane, viteza de fază de-a lungul vectorului de undă poate fi exprimată după cum urmează:

v_{\phi}\equiv v_{\phi,0}=\omega /k

unde este numărul de undă , este frecvența unghiulară . În acest caz, viteza fazei de-a lungul direcției, deviată de la vectorul de undă printr-un unghi , va fi egală cu: $k$ $\omega$ $\alfa$

v_{{\phi ,\alpha }}={\frac {v_{{k}}}{\cos \alpha }}

Neînțelegerea acestui fapt este adesea cauza unor neînțelegeri și erori. De exemplu, din cele de mai sus este clar că viteza de fază poate fi mai mare decât viteza luminii (aceasta decurge direct din formula scrisă mai sus, având în vedere că poate lua valori arbitrar mici atunci când unghiul tinde spre o linie dreaptă , și, în consecință, viteza de fază într-o direcție apropiată de ortogonală, se dovedește a fi arbitrar mare, tinde spre infinit) [5] . $\cos\alpha$

Viteza fazei poate depăși viteza luminii

Viteza fazei poate depăși viteza luminii în vid și adesea o depășește. Acest lucru nu contrazice binecunoscutul principiu al vitezei maxime a luminii, a cărui nevoie apare pentru a respecta simultan principiul cauzalității (astfel încât să nu existe paradoxuri cauzale) și principiul relativității ( invarianța Lorentz ).

Cert este că aceste principii impun o limitare doar asupra vitezei de propagare a unor astfel de obiecte fizice prin care se poate transmite informația. Iar viteza de fază [6] nu se aplică vitezelor unor astfel de obiecte. O undă pur monocromatică (sinusoidală) este infinită în spațiu și timp, nu se poate modifica în niciun fel pentru a transmite informații (dacă modulăm unda, aceasta va înceta să mai fie monocromatică, iar viteza de propagare a modulației nu coincide cu viteza fazei, de obicei care coincide cu viteza de grup pentru unde aproape monocromatice).

Viteza de fază într-o direcție care nu coincide cu vectorul de undă

Deoarece viteza de fază, măsurată de-a lungul unei direcții arbitrare care nu coincide cu vectorul de undă și cu direcția de propagare a undei, nu este viteza de mișcare a unui „obiect fizic”, adică un obiect a cărui stare în momentele ulterioare de timp este determinată cauzal de starea din cele anterioare, dar de fapt caracterizează pur și simplu câmpul oscilant de stare în puncte alese artificial, adesea (și anume, dacă alegeți un unghi suficient de mare cu vectorul de undă) viteza fazei într-o direcție dată a oricărei, chiar și unda arbitrar lentă (așa cum se arată în paragraful de mai sus) poate depăși viteza luminii , tinzând spre infinit pe măsură ce unghiul tinde spre o linie dreaptă.

În special, viteza de fază a luminii (sau, în general, a oricărei unde electromagnetice care se deplasează) în vid, măsurată în orice direcție care nu coincide cu vectorul său de undă, este întotdeauna mai mare decât viteza luminii .

Dar problema nu se limitează la viteza de fază într-o direcție arbitrară. Viteza luminii poate fi depășită chiar și de viteza de fază măsurată de-a lungul vectorului de undă.

Viteza de fază pentru o particulă cuantică

Viteza de fază a unei „unde” cuantice corespunzătoare oricărei particule masive (adică o particulă cu o masă mai mare decât zero) este întotdeauna mai mare decât viteza luminii. Acest lucru este ușor de observat din formulele , și , din care , în timp ce E pentru particulele masive este întotdeauna mai mare decât p datorită masei ( energia de repaus ). $\ v_{\phi }=\omega /k$ $E = \hbar \omega$ $p=\hbar k$ $\ v_{\phi }=E/p$

Cu toate acestea, această viteză de fază, în principiu, nu poate fi observată (deoarece în fizica cuantică faza nu este deloc observabilă). Doar viteza de grup este disponibilă pentru observație , care este analogul cuantic al vitezei obișnuite a unei particule clasice.

Viteza de fază pentru ecuația Klein-Gordon

Dar ecuațiile diferențiale care descriu particulele cuantice pot fi implementate în principiu pe alte sisteme fizice (de exemplu, pe modele mecanice destul de simple). În acest caz, viteza de fază este destul de accesibilă pentru observație.

Cu toate acestea, chiar și aici viteza de fază poate fi făcută arbitrar mare (este suficient să alegeți un k suficient de mic ) și, în principiu, este ușor să o faceți mai mare decât viteza luminii.

Acest rezultat aparent paradoxal se datorează faptului că „propagarea” unei astfel de unde este o iluzie [7] în sensul că nu există o relație cauzală între diferitele părți ale undei (starea undei care se deplasează spre dreapta este nedeterminat de ceea ce era la stânga).

Note

↑ sau sau o variantă multivariată similară. $\cos(kx-\omega t)$ $\exp(i(kx-\omega t))$
↑ Materiale cu indice de refracție negativ - Victor Veselago
↑ În cazul utilizării, de exemplu, a coordonatelor oblice, conceptele de coordonată a vectorului și proiecția pe axă nu coincid.
↑ Desigur, într-un anumit sistem de coordonate fix, orice triplă (vom vorbi despre cazul tridimensional pentru definiție) de numere definește un vector; totuși, dacă avem de-a face cu un vector real, atunci când schimbăm sistemul de coordonate (de exemplu, la rotirea axelor), ar trebui să obținem rezultate conforme cu anumite reguli pentru orice sistem de coordonate și deja acest lucru se dovedește a fi incorect pentru triplu de numere pe care le luăm în considerare.
↑ Acest lucru nu contrazice teoria relativității. Vezi paragraful următor.
↑ Ca, de exemplu, viteza unui iepuraș pe ecran - vezi articolul Mișcare superluminală .
↑ Distribuția ca fapt, desigur, are loc; iluzia aici înseamnă că avem tendința de a investi intuitiv în acest fapt mai mult decât este în realitate, și anume, intuitiv, avem tendința de a crede că pentru o undă care se mișcă de la stânga la dreapta, stările anterioare ale undei din stânga sunt cauza stărilor ulterioare. in dreapta, ceea ce nu este asa . De fapt, ar fi mai corect să spunem că diferite părți ale acestei unde oscilează independent una de cealaltă, iar suprapunerea unor astfel de oscilații dă o undă de călătorie (într-adevăr, este oarecum asemănătoare cu o iluzie optică).

Link -uri

Enciclopedia fizică online. Volumul 5, p.266.

Vitezele valurilor
viteza de grup Viteza fazei Viteza frontală Viteza semnalului