Geometria Galois

Geometria Galois (numită după matematicianul francez din secolul al XIX-lea Évariste Galois ) este o ramură a geometriei finite care ia în considerare geometria algebrică și analitică peste câmpuri finite (sau câmpuri Galois ) [1] . Într-un sens mai restrâns, geometria Galois poate fi definită ca un spațiu proiectiv peste un câmp finit [2] .

Introducere

Obiectele de studiu sunt spații vectoriale , spații afine și proiective peste câmpuri finite și diferite structuri conținute în acestea. În special, arce , ovale , hiperovale , unitali , seturi de blocare , ovale , varietăți și alți analogi finiți ai structurilor găsite în geometrii infinite.

George Conwell a demonstrat geometria lui Galois în 1910, când a descris soluția la problema școlii Kirkman ca o partiție a setului de linii oblice în PG(3,2), o geometrie proiectivă tridimensională peste câmpul Galois GF(2) [3] . Similar cu metodele de geometrie a liniilor în spațiu peste un câmp cu caracteristica 0 , Conwell a folosit coordonatele Plücker în PG(5,2) și a identificat puncte reprezentând linii în PG(3,2) cu puncte situate pe cvadrica Klein .

În 1955, Beniamino Segre a descris ovale pentru q impar . Teorema lui Segre afirmă că în geometria Galois de ordin impar (plan proiectiv definit peste un câmp finit cu caracteristică impară ) orice oval este o secțiune conică . La Congresul Internațional al Matematicienilor din 1958, Segre a prezentat o privire de ansamblu asupra rezultatelor disponibile la acel moment în geometria Galois [4] .

$q$ se numește ordinea unui plan proiectiv finit, astfel încât fiecare punct (o linie) și numărul de puncte să fie egal cu numărul de linii.De exemplu, când planul proiectiv este un triunghi. Planurile Galois sunt plane proiective finite pentru care teorema Desargues este valabilă. Pentru un plan proiectiv finit , sunt definite mai multe configurații coerente. Schema care le contine este definita pe multimea unde este multimea elementelor (puncte si drepte) din planul proiectiv finit si, in cazul Desarguesianitatii, se extinde la schema corespunzatoare actiunii componente a grupului asupra [5] $q^{2}+q+1.$ $q=1$ $\Pi$ $V^{2},$ $V$ $\pi ,$ $\mathrm {Aut} (\Pi )$ $V^{2}.$

Vezi și

Note

↑ Galois geometry Arhivat 10 august 2011 la Wayback Machine în Encyclopedia of Mathematics
↑ „Spații proiective peste câmpuri finite, cunoscute și sub numele de geometrii Galois,...”, ( Hirschfeld, Thas 1992 )
↑ Conwell, 1910 , p. 60–76.
↑ Segre, 1958 .
↑ S.A. Evdokimov, I.N. Ponomarenko, Scheme de relații ale planului proiectiv finit și extinderile lor, Algebra i Analiz, 2009, Volumul 21, Numărul 1, 90-132.

Literatură

Beniamino Segre. Despre Geometriile Galois . — International Mathematical Union , 1958. Arhivat 30 martie 2015 la Wayback Machine
George M. Conwell. PG cu 3 spații (3,2) și grupurile sale. — Analele matematicii . - 1910. - T. 11. - S. 60–76. - doi : 10.2307/1967582 .
JWP Hirschfeld. Geometrii proiective peste câmpuri finite . - Oxford University Press , 1979. - ISBN 978-0-19-850295-1 .
JWP Hirschfeld. Spații proiective finite de trei dimensiuni . - Oxford University Press , 1985. - ISBN 0-19-853536-8 .
J. W. P. Hirschfeld, J. A. Thas. Geometriile generale Galois. - Oxford University Press , 1992. - ISBN 978-0-19-853537-9 .
Jan De Beule, Leo Storme. Subiecte curente de cercetare în geometria Galois . - Nova Science Publishers, 2011. - ISBN 978-1-61209-523-3 . Arhivat pe 29 ianuarie 2016 la Wayback Machine