Geometrie proiectivă

Geometria proiectivă este o ramură a geometriei care studiază planurile și spațiile proiective . Caracteristica principală a geometriei proiective este principiul dualității , care adaugă o simetrie grațioasă multor modele.

Geometria proiectivă poate fi studiată atât din punct de vedere pur geometric, cât și din punct de vedere analitic (folosind coordonate omogene ) și din unul algebric , considerând planul proiectiv ca structură peste un câmp . Adesea, și din punct de vedere istoric, planul proiectiv real este tratat ca plan euclidian cu adăugarea unei „linii la infinit”.

În timp ce proprietățile figurilor cu care se ocupă geometria euclidiană sunt metrice (valori specifice ale unghiurilor, segmentelor, ariilor), iar echivalența figurilor este echivalentă cu congruența lor (adică atunci când figurile pot fi translate una în alta prin mișcarea, păstrând în același timp proprietățile metrice), există proprietăți mai „de adâncime” ale figurilor geometrice care sunt păstrate prin transformări de tip mai general decât mișcarea. Geometria proiectivă se ocupă cu studiul proprietăților figurilor care sunt invariante în clasa transformărilor proiective , precum și a acestor transformări în sine.

Geometria proiectivă completează euclidianul oferind soluții frumoase și simple la multe probleme complicate de prezența liniilor paralele. Teoria proiectivă a secțiunilor conice este deosebit de simplă și elegantă .

Istorie

Deși unele dintre rezultatele care sunt denumite acum geometrie proiectivă se întorc la lucrările geometrilor greci antici, cum ar fi Pappus din Alexandria , geometria proiectivă ca atare a luat naștere în secolul al XVII-lea din perspectiva directă în pictură și desenul arhitectural. Ideea punctelor infinit depărtate în care liniile paralele se intersectează a apărut independent de arhitectul francez Gerard Desargues și de astronomul german Johannes Kepler . Desargues chiar a sugerat că ar putea exista o linie constând numai din puncte la infinit.

În secolul al XIX-lea , interesul pentru zonă a fost reînviat prin scrierile lui Jean-Victor Poncelet și Michel Chall . Poncelet a derivat spațiul proiectiv din euclidian adăugând o dreaptă la infinit, pe care se intersectează toate planurile paralele cu cel dat și a demonstrat principiul dualității. Va continua și a aprofundat semnificativ munca lui Poncelet. Mai târziu, von Staudt a creat o axiomatizare pur sintetică care combină aceste linii cu restul.

La sfârșitul secolului al XIX-lea, Felix Klein a propus utilizarea coordonatelor omogene pentru geometria proiectivă , care fusese introdusă anterior de Möbius , Plücker și Feuerbach .

Terminologie

Conceptele de bază ale geometriei proiective, rămase nedefinite în axiomatizarea standard, sunt punctul și dreapta . Un set de puncte de pe o dreaptă se numește rând , iar un set de drepte care trec printr-un punct se numește mănunchi . Setul de puncte de pe liniile din creionul A care se intersectează cu dreapta BC definește planul ABC . Principiul dualității afirmă că orice construcție a geometriei proiective în spațiul n -dimensional rămâne adevărată dacă în toate cazurile înlocuim construcțiile ( k )-dimensionale cu ( n - k -1)-dimensionale. Astfel, orice construcție din planul proiectiv rămâne adevărată dacă înlocuim punctele cu linii și liniile cu puncte.

Conversia unui rând de linie X într-un creion cu un punct x care nu se află în acest rând, sau invers, identifică fiecare punct din serie cu linia din creionul care îl intersectează și se scrie X ⌅ x . O secvență de mai multe astfel de transformări (de la serie la snop, apoi înapoi la serie și așa mai departe) se numește proiectivitate . O perspectivă este o succesiune de două proiectivitati (scrise X ⌆ X ′). Perspectiva a două drepte trece prin centrul O , iar perspectiva a două puncte trece prin axa o . Un punct este invariant sub proiectivitate dacă proiectivitatea îl transformă în același punct.

Un triunghi este format din trei puncte legate în perechi prin linii drepte. Un patrulater complet este format din patru puncte (vârfurile) într-un plan, niciunul dintre acestea nu este coliniar , conectat în perechi prin linii drepte. Intersecția a două dintre aceste drepte care nu este un vârf se numește punct diagonal . Un tetraedru complet este definit în mod similar, dar cu puncte în loc de linii și cu linii în loc de puncte. În mod similar, se poate defini un n - gon complet și un n - față complet .

Două triunghiuri sunt perspectivă dacă pot fi conectate prin perspectivă, adică fețele lor se intersectează în puncte coliniare (perspectivă printr-o dreaptă) sau vârfurile lor sunt conectate prin linii competitive (perspectivă printr-un punct).

Abordări de bază

Există trei abordări principale ale geometriei proiective: axiomatizarea independentă , completarea geometriei euclidiene și structura pe un câmp.

Axiomatizare

Un spațiu proiectiv poate fi definit folosind un set diferit de axiome. Coxeter oferă următoarele:

Există o linie și un punct nu este pe ea.
Fiecare linie are cel puțin trei puncte.
Prin două puncte se poate trasa exact o linie.
Dacă , , , și sunt puncte diferite și și se intersectează, atunci și se intersectează. $A$ $B$ $C$ $D$ $AB$ $CD$ $AC$ $BD$
Dacă este un plan, atunci există cel puțin un punct care nu este în plan . $ABC$ $ABC$
Două plane distincte se intersectează cel puțin în două puncte.
Cele trei puncte diagonale ale unui patrulater complet nu sunt coliniare.
Dacă trei puncte de pe linie sunt invariante sub proiectivitate , atunci toate punctele de pe linie sunt invariante sub . $X$ $\varphi$ $X$ $\varphi$

Planul proiectiv (fără a treia dimensiune) este definit de axiome oarecum diferite:

Prin două puncte se poate trasa exact o linie.
Oricare două linii se intersectează.
Există patru puncte, dintre care trei nu sunt coliniare.
Cele trei puncte diagonale ale patrulaterelor complete nu sunt coliniare.
Dacă trei puncte de pe linie sunt invariante sub proiectivitate , atunci toate punctele de pe linie sunt invariante sub . $X$ $\varphi$ $X$ $\varphi$
Teorema lui Desargues : Dacă două triunghiuri sunt perspectivă printr-un punct, atunci sunt perspectivă printr-o dreaptă.

În prezența unei a treia dimensiuni, teorema lui Desargues poate fi demonstrată fără introducerea punctului și dreptei ideale.

Complementarea geometriei euclidiene

Din punct de vedere istoric, spațiul proiectiv a fost definit mai întâi ca complement al spațiului euclidian de un element ideal, un plan la infinit. Fiecare punct din acest plan corespunde unei direcții în spațiu și este intersecția tuturor liniilor din această direcție.

Structura peste câmp

$n$ Spațiul proiectiv -dimensional peste un câmp este definit folosind un sistem de coordonate omogene peste , adică un set de vectori de elemente nenuli . Un punct și o linie sunt definite ca un set de vectori care diferă în înmulțire cu o constantă. Un punct este pe o linie dacă produsul punctual este . Astfel, având în vedere linia , putem defini o ecuație liniară care definește o serie de puncte pe . De aici rezultă că punctele , , și sunt coliniare dacă pentru o anumită linie . $F$ $F$ $(n+1)$ $F$ $X$ $X$ $X\cdot x=0$ $X$ $X\cdot x=0$ $X$ $X$ $y$ $z$ $X\cdot x=X\cdot y=X\cdot z=0$ $X$

Teoreme importante

Literatură

Buseman G., Kelly P. Geometrie proiectivă și metrică proiectivă . M., 1957.
Baer R. Algebră liniară și geometrie proiectivă . M., 1955.
Volberg AO Idei de bază ale geometriei proiective . M.–L.: Uchpedgiz, 1949.
Glagolev N. A. Geometrie proiectivă . M.–L., 1936.
Courant R, Robbins G. Ce este matematica , capitolul IV. 2001
Hartshorne R. Fundamentele geometriei proiective . M., 1970.
Chetverukhin N. F. Geometrie proiectivă . Moscova: Educație, 1969.
Jung JW Geometrie proiectivă . M.: IL, 1949.