Ipoteza lui Singmaster

În teoria numerelor , conjectura Singmaster , numită după David Singmaster , afirmă că există o limită superioară finită a numărului de numere identice (mai mari decât unu) în triunghiul lui Pascal . Este clar că doar unul este conținut în triunghiul lui Pascal de un număr infinit de ori, deoarece orice alt număr x poate apărea doar în primele x + 1 rânduri ale triunghiului. Pal Erdős a crezut că conjectura lui Singmaster era corectă, dar a presupus că va fi dificil să o dovedească.

Fie N ( a ) numărul de apariții ale numărului a > 1 în triunghiul lui Pascal. În notația O , conjectura lui Singmaster este scrisă ca

N(a)=O(1).

Rezultate notabile

Singmaster (1971) a arătat că

N(a)=O(\log a).

Abbot, Erdős și Hanson au îmbunătățit ulterior estimarea. Cel mai bun scor până în prezent

N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3))}\right)

obţinut de Daniel Kane (2007).

Abbott, Erdős și Hanson au mai observat că condiția conjecturii lui Cramer despre distanța dintre numerele prime succesive implică estimarea

N(a)=O\left(\log(a)^{2/3+\varepsilon}\right)

pentru orice . $\varepsilon >0$

Singmaster (1975) a arătat că ecuația diofantină

{\binom {n+1}{k+1}}={\binom {n}{k+2}}

are infinit de soluții pentru două variabile n , k . Rezultă că există infinit de multe cazuri de apariție a numerelor de 6 sau mai multe ori. Soluțiile sunt date de ecuații

n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,

k=F_{2i}F_{2i+3}-1,

unde F n este al n -lea număr Fibonacci (conform F 1 = F 2 = 1 general acceptat).

Exemple numerice

Conform calculelor,

2 apare o singură dată; toate numerele mai mari de 2 apar de mai multe ori;
3, 4, 5 apar de 2 ori;
6 apare de 3 ori;
multe numere apar de 4 ori.
Fiecare dintre următoarele numere apare de 6 ori: ${120 \choose 1}={16 \choose 2}={10 \choose 3}$ ${210 \choose 1}={21 \choose 2}={10 \choose 4}$ ${1540 \choose 1}={56 \choose 2}={22 \choose 3}$ ${7140 \choose 1}={120 \choose 2}={36 \choose 3}$ ${11628 \choose 1}={153 \choose 2}={19 \choose 5}$ ${24310 \choose 1}={221 \choose 2}={17 \choose 8}$
Cel mai mic număr care apare de 8 ori este 3003, care este, de asemenea, un membru al familiei infinite de numere Singmaster care apar de cel puțin 6 ori: ${3003 \choose 1}={78 \choose 2}={15 \choose 5}={14 \choose 6}$

Următorul număr din familia infinită Singmaster și următorul cel mai mic număr cunoscut care apare de șase sau mai multe ori este 61218182743304701891431482520.

Nu se știe dacă vreunul dintre numere apare de mai mult de opt ori. Există o presupunere că numărul maxim de apariții nu depășește 8, dar Singmaster consideră că ar trebui să fie 10 sau 12.

Nu se știe dacă există numere care apar exact de cinci sau exact șapte ori în triunghiul lui Pascal.

Vezi și

Coeficient binomial

Literatură

D. Singmaster . Probleme de cercetare: Cât de des apare un număr întreg ca coeficient binomial? // American Mathematical Monthly . - 1971. - T. 78 , nr. 4 . - S. 385-386 . - doi : 10.2307/2316907 . — .
D. Singmaster . Coeficienți binomi repetați și numere Fibonacci // Fibonacci Quarterly. - 1975. - T. 13 , nr. 4 . - S. 295-298 .
H. L. Abbott, P. Erdős , D. Hanson. Cu privire la numărul de ori un număr întreg apare ca coeficient binomial // American Mathematical Monthly . - 2319526. - T. 81 , nr. 3 . - S. 256-261 . - doi : 10.2307/2319526 .
Daniel M. Kane. Limite îmbunătățite ale numărului de moduri de exprimare a t ca coeficient binomial // Întregi: Electronic Journal of Combinatorial Number Theory. - 2007. - T. 7 . — S. #A53 .

Link -uri

secvența A003016 în OEIS