Triunghiul lui Pascal

Triunghiul lui Pascal ( triunghi aritmetic ) este un tabel infinit de coeficienți binomi care are o formă triunghiulară. În acest triunghi, există unități în partea de sus și pe laturi . Fiecare număr este egal cu suma celor două numere de deasupra lui. Liniile triunghiului sunt simetrice față de axa verticală. Numit după Blaise Pascal . Numerele care alcătuiesc triunghiul lui Pascal apar în mod natural în algebră , combinatorică , teoria probabilităților , calcul , teoria numerelor [1] .

Istorie

Prima mențiune a unei secvențe triunghiulare de coeficienți binomi numită meru-prastaara apare într-un comentariu al matematicianului indian Halayudha din secolul al X-lea asupra scrierilor unui alt matematician, Pingala . Triunghiul este explorat și de Omar Khayyam în jurul anului 1100, așa că în Iran această schemă se numește triunghiul Khayyam. În 1303, a fost publicată cartea „Jasper Mirror of the Four Elements” a matematicianului chinez Zhu Shijie , în care triunghiul lui Pascal a fost reprezentat într-una dintre ilustrații; se crede că a fost inventat de un alt matematician chinez, Yang Hui (de aceea chinezii îl numesc triunghiul lui Yang Hui).

În Italia, triunghiul lui Pascal este uneori numit „triunghiul lui Tartaglia”, deoarece Niccolò Tartaglia a descris acest tabel cu o sută de ani înainte de Pascal. Pagina de titlu a unui manual de aritmetică scris în 1529 de Peter Apian , astronom la Universitatea din Ingolstadt, înfățișează și triunghiul lui Pascal. Și în 1665 [2] , a fost publicată cartea lui Blaise Pascal „A Treatise on the Arithmetic Triangle” [3] , care a fost special dedicată acestui tabel și a fost înaintea predecesorilor săi ca conținut.

Notație și proprietăți

Coeficienții binomi sunt adesea notați sau și citiți ca „numărul de combinații de n elemente prin k ” [1] . $\binom{n}{k}$ $C_{n}^{k}$

Numerele triunghiulare sunt simetrice (egale) față de axa verticală.
În rândul numărul n (numerotarea începe de la 0):
- primul și ultimul număr sunt 1;
- al doilea și penultimul număr sunt n ;
- al treilea număr este egal cu numărul triunghiular , care este, de asemenea, egal cu suma numerelor liniilor precedente; $T_{n-1}={\frac {n(n-1)}{2))$
- al patrulea număr este tetraedric ;
- m --lea număr (cu numerotare de la 0) este egal cu coeficientul binom . $C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(nm)!}}$
Suma numerelor diagonalei crescătoare începând de la primul element al rândului ( n −1) este al n - lea număr Fibonacci : ${\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.$
Dacă scădeți din numărul central dintr-un rând cu un număr par numărul adiacent din același rând, obțineți numărul catalan .
Suma numerelor din al n -lea rând al triunghiului lui Pascal este . $2^{n}$
Toate numerele din a n- a linie, cu excepția celor, sunt divizibile cu numărul n dacă și numai dacă n este un număr prim [4] (o consecință a teoremei lui Lucas ).
Dacă într-un rând cu un număr impar adunăm toate numerele cu numere de serie de forma 3 n , 3 n + 1, 3 n + 2, atunci primele două sume vor fi egale, iar a treia va fi mai mică cu 1 .
Fiecare număr din triunghi este egal cu numărul de moduri de a ajunge la el de sus, deplasându-se fie la dreapta-jos, fie la stânga-jos.

Citate

Triunghiul lui Pascal este atât de simplu încât chiar și un copil de zece ani îl poate scrie. În același timp, ascunde comori inepuizabile și leagă între ele diverse aspecte ale matematicii care la prima vedere nu au nimic în comun între ele. Astfel de proprietăți neobișnuite ne permit să considerăm triunghiul lui Pascal una dintre cele mai elegante scheme din întreaga matematică.Martin Gardner [5]

Vezi și

Note

↑ 1 2 Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician, 1985 .
↑ O. V. Kuzmin. Triunghiul și piramida lui Pascal: proprietăți și generalizări // Soros Educational Journal . - 2000. - T. 6 , nr 5 . - S. 101-109 . Arhivat din original pe 29 octombrie 2013.
↑ Triunghiul uimitor al marelui francez // Hard'n'Soft . - 2003. - Nr. 10 . Arhivat din original pe 21 aprilie 2010.
^ Weisstein , Triunghiul lui Eric W. Pascal pe site-ul Wolfram MathWorld .
↑ Martin Gardner . Capitolul 17. Farmecul inepuizabil al triunghiului lui Pascal . — M .: Mir, 1974. — 456 p.

Literatură

Triunghiul lui Pascal // Dicționar enciclopedic al unui tânăr matematician / Comp. A. P. Savin. - M . : Pedagogie , 1985. - S. 230 -232. — 352 p.
Fuks D., Fuks M. Aritmetica coeficienților binomi // Kvant . - 1970. - Nr 6 . - S. 17-25 .
Uspensky V. A. Triunghiul lui Pascal . — M .: Nauka, 1979. — 48 p. - ( Prelegeri populare despre matematică ). - 200.000 de exemplare.

Link -uri

Weisstein, Triunghiul lui Eric W. Pascal (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Construcția triunghiului lui Pascal

Dicționare și enciclopedii	mare danez mare chinezesc Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	NKC : ph348268