Ipoteza Erdős-Graham

Conjectura Erdős–Graham este o conjectură în teoria numerelor combinatorie referitoare la problema împărțirii unei mulțimi de numere întregi mai mari decât unu într-un număr finit de submulțimi, dintre care una poate fi folosită pentru a forma o unitate egipteană care reprezintă o fracție. Erdős și Graham au presupus că pentru orice și orice colorare a numerelor întregi mai mari decât unu, există un subset monocromatic finit al acestor numere întregi, astfel încât: $r>0$ $r$ $S$

\sum _{n\in S}{\frac {1}{n}}=1

iar elementul maxim al multimii poate fi limitat la o valoare cu o constanta independenta de . Se știe că pentru corectitudinea acestei afirmații este necesar să existe nu mai puțin decât numărul . $S$ $b^r$ $b$ $r$ $b$ $e$

Ipoteza a fost demonstrată de Ernest S. Croot , III în 2003 , estimarea este foarte mare - numărul nu trebuie să fie mai mare de . Rezultatul lui Kroot decurge dintr-o teoremă mai generală, care afirmă existența unei reprezentări a unității sub forma unei fracții egiptene pentru mulțimi de numere netede în intervale de forma , unde conține un număr suficient de mare de numere a căror sumă de reciproce este cel putin sase. Conjectura Erdős-Graham este derivată din acest rezultat prin găsirea unui interval în care suma reciprocelor tuturor numerelor netede este de cel puțin . Astfel, dacă numerele întregi sunt -colorate, trebuie să existe o submulțime monocromatică a lui , care să satisfacă condiția teoremei lui Kroot. $b$ $e^{167000}$ $C$ $[X,X^{1+\delta }]$ $C$ $6r$ $r$ $C$

Note

Link -uri

Croot, Ernest S., III. Fracții unitare. - Universitatea din Georgia , Atena, 2000.
Croot, Ernest S., III. Pe o presupunere de colorat despre fracțiile unitare // Analele matematicii . - 2003. - T. 157 , nr. 2 . - S. 545-556 . doi : 10.4007 / anals.2003.157.545 . - arXiv : math.NT/0311421 .
Pal Erdős , Ronald L. Graham . Probleme vechi și noi și rezultate în teoria numerelor combinatorii // L'Enseignement Mathématique . - 1980. - T. 28 . - S. 30-44 .
Pagina web a lui Ernie Croot Arhivată pe 9 aprilie 2009 la Wayback Machine