Combinatorică aritmetică

Combinatoria aritmetică este o zonă interdisciplinară a matematicii care studiază relația dintre structurile formate într- un câmp (mai rar, într-un inel ) prin operația de adunare și operația de înmulțire.

Abordarea conceptului de structură aici este similară cu combinatoria aditivă și se bazează în principal pe dimensiunea setului de sume (sau produse), energie aditivă (sau multiplicativă) și diferitele lor combinații. Ca câmp, sunt de obicei considerate numere reale sau raționale ( , ) și reziduuri modulo prime ( ). ${\mathbb {R} }$ ${{\mathbb Q}}$ ${\mathbb {F} }_{p)$

Ambiguitatea terminologiei și a subiectului articolului

Combinatoria aditivă și aritmetică sunt științe tinere, în curs de dezvoltare. Metodele și modalitățile lor de stabilire a problemelor sunt foarte asemănătoare, prin urmare, de regulă, combinatoria aditivă este considerată parte a aritmeticii. [1] Acest articol descrie numai subiecte care conțin ambele operații de câmp într-o formă sau alta sau inversele lor, adică care nu aparțin combinatoriei pur aditive (deși aceasta din urmă constituie o parte destul de semnificativă a aritmeticii).

În plus, întrebările despre proprietățile aditiv-combinatorii ale subgrupurilor multiplicative și ale mulțimilor înrudite nu sunt atinse aici, deoarece, deși definiția lor este legată de înmulțire, structura lor multiplicativă este rigid fixă, iar componenta combinatorie a acestei științe implică una sau alta. generalitate privind gradul de structura (cel putin cu un parametru care actioneaza ca constanta). ${\mathbb {F} }_{p}^{*}$

Motivație

Dezvoltarea combinatoriei aritmetice a fost în mare măsură motivată de apariția teoremei produsului sumă , care vorbește despre creșterea indispensabilă a mulțimilor din aplicarea fie a însumării combinatorii, fie a înmulțirii acesteia, adică una dintre cele două operații:

A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

De aici rezultă că combinarea acestor operații implică și creștere: dacă , atunci $\{0,1\}\subset A$

|A(A+A)|\gg \max\{|A(A+0)|,|1(A+A)|\}=\max\{|AA|,|A+A| \}

iar adăugarea unui număr finit de elemente afectează creșterea doar marginal. Deoarece teorema produsului sumă a fost dovedită doar într-o formă slabă (departe de o ipoteză), unii oameni de știință au devenit interesați să obțină afirmații de acest fel care să decurgă din forme mai puternice ale ipotezei decât cele demonstrate și, ulterior, în studiul general. relația dintre rezultatele diferitelor combinații a două câmpuri de operații. $A$

De exemplu, conjectura produsului sumă Erdős-Szemeredy afirmă că [2]

\max\{|A+A|,|AA|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ \forall A\subset {\mathbb {R} )

Din această ipoteză ar rezulta că , dar pentru mulțimi un astfel de rezultat poate fi ușor obținut fără el prin simplu raționament combinatoriu. [3] ${\displaystyle |AA+A|\geq |A|^{2-o(1)))$ $A\subset {\mathbb {N} }$

Sarcini și rezultate

Această secțiune folosește notația convențională pentru a descrie rezultatele (explicate în notația O ):

$X\ll Y$ înseamnă că $X=O(Y)$

$X\lesssim Y$ înseamnă că $X\leq (\log |A|)^{O(1)}Y$

Expresii raționale

Enunțul întrebării

Fie o expresie rațională peste mulțimi orice combinație de operații aritmetice ( ) între ele. Operația aici înseamnă aplicarea conform principiului sumelor multiple: $A_{1},\dots, A_{k)$ $+,-,\times ,/$

A\circ B=\{a\circ b\:\ a\in A,\b\in B\)

De exemplu, următoarele mulțimi sunt expresii raționale peste : $A,B,C$

seturile în sine ; $A,\B,\C$

$A(AA)=\{a(bc)\ :\ a,b,c\in A\)$ este o expresie rațională peste ; $A$

${\displaystyle A+BC=\{a+bc\ :\ a\in A,\b\in B,\c\in C\))$ .

Prin analogie cu energia aditivă, care este adesea folosită pentru a estima un set de sume, este convenabil să se ia în considerare numărul de soluții ale unei ecuații simetrice cu o expresie rațională. De exemplu,

E_{AB+C}=\#\{(a_{1},a_{2},b_{1},b_{2},c_{1},c_{2})\in A^{ 2}\ori B^{2}\ori C^{2}|:\ a_{1}+b_{1}c_{1}=a_{2}+b_{2}c_{2}\}

[patru]

O parte esențială a problemelor combinatoriei aritmetice poate fi exprimată prin următoarea formulare a întrebării.

Fie — un câmp (fie infinit, fie suficient de mare dintr-o familie dată de unități finite), — expresii raționale și cel puțin una dintre ele folosește sau și cel puțin una sau . ${\mathbb {F} }$ $R_{1},\dots,R_{n)$ $+$ $-$ $\cdot$ $/$

Lasă și pentru unii și stabilește relațiile $N$ $A_{1},\dots,A_{k}\subset {\mathbb {F} }$

|A_{j}|=N^{\alpha _{j)),\j=1,\dots,k

|R_{i}(A_{1},\dots,A_{k})|=N^{\beta _{i)),\i=1,\dots,n

E_{R_{i}(A_{1},\dots,A_{k})}=N^{\gamma _{i)),\i=1,\dots,n

Întrebare

Cum depinde setul de valori posibile ? $N\la \infty$ $(\alpha _{1},\dots,\alpha _{k},\beta _{1},\dots,\beta _{k},\gamma _{1},\dots,\gamma _{n})$ ${\mathbb {F} },R_{1},\dots,R_{n)$

Notă

Dacă câmpul este finit, atunci este adecvat să se completeze setul cu parametrul , unde . [5] $(\alpha _{1},\dots,\gamma _{n})$ $\varepsilon$ $N=|{\mathbb {F} }|^{\varepsilon )$

De exemplu, ipoteza produsului sumă afirmă că dacă , , , atunci (aici ). ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $R_{1}(A)=A+A$ $R_{2}(A)=A\cdot A$ $\max\{\gamma _{1},\gamma _{2}\}=2$ $k=1,\n=2$

De regulă, se dovedește a deriva relații liniare între cantități , adică inegalități între produse și puteri ale diferitelor cantități . $\alpha _{1},\dots,\gamma _{n)$ $|A_{j}|,\ |R_{i}(A_{1},\dots, A_{k})|,\ E_{R_{i}(A_{1},\dots, A_{ k})}$

Unele rezultate

Despre generalizarea sumelor și produselor:

\forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+AA+AA+AA|\geq {\frac {1}{2}}|A|^{2}

[6]

\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}:|A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A-A+AA)+A(AA)|\geq |A|^{2}

[7]

\exists c>0:\\forall B,C\subset {\mathbb {R} }:\ |(B+C)(B+C)|\geq |B+C|^{1+c }

[8] ;

\exists c>0:\\forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |AA+A|\geq |A|^{{\frac {3}{2}}+c}

[9] ;

\exists c_{1},c_{2}>0:\ \forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |A+A|\leq |A|^{1+c_{1} }\Rightarrow |AAA|\geq |A|^{2+c_{2}}

[zece]

\forall A\subset {\mathbb {R} }:\ |(AA)(AA)(AA)|\gtsim |A|^{2+{\frac {1}{8)))

[unsprezece]

Despre generalizarea energiilor:

$E_{A+B}^{2}\leq |A/B|E_{(A+B)/B)$ [12]

pentru orice dacă , atunci , și pentru [13] $k\in {\mathbb {N} }$ $A\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\geq p^{c(k))$ $E_{(AA)^{k}}\sim {\frac {|A|^{4k}}{p}}$ $c(k)\la {\frac {1}{2)}$ $k\to\infty$

Schimbări

Enunțul întrebării

Ideea evaluării expresiilor raționale care combină diferite operații vine din faptul că aplicarea unei operații aditive la o mulțime îl privează de structura sa multiplicativă. Același principiu poate fi extins și în cazul în care mulțimea este schimbată nu printr-o operație combinatorie complexă de adăugare element cu element, ci printr-o schimbare aditivă obișnuită - prin adăugarea unui număr la toate elementele mulțimii. Este de așteptat ca acest lucru să schimbe structura multiplicativă a mulțimii în majoritatea cazurilor (de exemplu, dacă , atunci pentru unele pentru toate sau aproape pentru toate ). [paisprezece] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |(A+d)(A+d)|\gg |A|^{1+c))$ $c>0$ $d$

Întrebare

În ceea ce privește un fix (dar arbitrar) proprietăți multiplicative (mărimea mulțimii de produse și energia multiplicativă) ale mulțimilor depind unele de altele . Și, de asemenea, care sunt proprietățile multiplicative comune ale mulțimilor pentru diferite (de exemplu, există estimări non-triviale pe )? $A\subset {\mathbb {F} }$ $A+u,\u\in {\mathbb {F} }$ $A+u_{1},\dots, A+u_{k)$ $u_{1},\dots,u_{k)$ $|A(A+1)|$

Unele rezultate

dacă pentru simplu , atunci: $A\subset {\mathbb {F} }_{p)$ $p$

- ${\displaystyle |A|<p^{5/8}\Rightarrow |A(A+1)|\gg |A|^{6/5))$ [cincisprezece]

- ${\displaystyle |A|<p^{1/4}\Rightarrow |A(A+1)|\gtsim |A|^{11/9-o(1)))$ [16]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ \forall a\in {\mathbb {R} }\setminus \{0\}:\ |A(A+1)| \ll |A|\Rightarrow E_{\times }(A,A+a)\lesssim |A|^{32/13}$ [17]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}:\ |AA|\ll |A|\Rightarrow |(A+1)^{k}|\gg _{k}|A |^{k}$ [optsprezece]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |AA|^{4}|(A+1)(A+1)|\gtsim |A|^{6)$ [19]

$\forall A\subset {\mathbb {R} }_{+}:\ |(A+1)(A+1)(A+1)|^{16}|AA|^{78}\ gtsim|A|^{111}$ [douăzeci]

$\forall A\subset {\mathbb {Q} }_{+}\forall u\subset {\mathbb {Q} }\setminus \{0\}:\ \max \left\lbrace {|A^ {k}|,|(A+u)^{k}|}\dreapta\rbrace \gg |A|^{b(k)}$ , unde la [21] $b(k)\la \infty$ $k\in \infty$

Polinoame

Enunțul întrebării

Ideea combinării adunării și înmulțirii duce în mod natural la luarea în considerare a polinoamelor , adică aceleași expresii raționale, dar în care o variabilă poate apărea de mai multe ori (și astfel să aibă un efect mai complex asupra structurii mulțimii rezultate) . Se dovedește că în acest caz, pentru a asigura o creștere necondiționată, nu este necesar să folosiți trei copii ale mulțimii (ca în expresia ), dar este suficient să alegeți polinomul dorit în două variabile. [22] Bourgain a observat mai întâi o astfel de proprietate pentru polinomul . [23] $A+AA$ $x^{2}+xy$

De asemenea, prin analogie cu teorema produsului sumă, sunt studiate limitele inferioare ale polinoamelor arbitrare . ${\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A,A)|\))$ $f$

Unele rezultate

Primul rezultat al lui Bourgain: dacă . Atunci pentru unii este adevărat că $A,B\subset {\mathbb {F} }_{p},\ |A|\sim |B|\sim p^{\alpha },\\alpha \in (0;1)$ $\varepsilon =\varepsilon (\alpha)>0$

\#\{a^{2}+ab\ :\ a\in A,\ b\in B\}\geq N^{1+\varepsilon }

[24]

Când comparăm și , degenerarea polinomului este de mare importanță . Dacă este degenerată, adică o reprezentăm ca , unde sunt polinoame și , atunci ambele sume se pot dovedi a fi mici dacă este o progresie aritmetică, deoarece . Prin urmare, rezultatele sunt formulate numai pentru polinoame nedegenerate: $|A+A|$ $|f(A,A)|$ $f$ $f=g(l(x,y))$ $l,g$ $\deg l=1$ $A$ $|f(A,A)|\leq |l(A,A)|$

dacă , atunci [25] $\deg f=2$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ |A|\leq p^{5/8}\Rightarrow \max\{|A+A|,|f(A ,A)|\}\gg |A|^{6/5}$

dacă , atunci [26] $\deg f=d$ $\forall A\subset {\mathbb {F} }_{p}\ :\ \max\{|A+A|,|f(A,A)|\}\gg \min \left\lbrace {{\frac {|A|^{3/2}}{dp^{1/4}}},{\frac {p^{1/3}|A|^{2/3}}{d^ {1/3}}}}\dreapta\rbrace$

Înmulțirea matricelor

Proprietăți

Există rezultate despre seturile de produse ale unui set de matrice dintr-unul sau altul subgrup de matrice (de exemplu, sau grupul Heisenberg ). Strict vorbind, aceste rezultate se referă la o singură operație de grup ( înmulțirea matricei ), astfel încât acestea pot fi denumite combinatorice aditive . Dar contopirea în cadrul definiției acestei operații atât a adunării, cât și a înmulțirii elementelor [27] , precum și necomutativitatea care decurge din aceasta, fac proprietățile sale foarte atipice în comparație cu operațiile de grup obișnuite, cum ar fi adunarea numerelor reale. ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {R} })$

De exemplu, un set de matrici poate crește adesea înmulțindu-se în condiții foarte simple (dimensiune mare, restricție asupra elementelor individuale sau diferență față de subgrupuri).

Unele rezultate

Majoritatea rezultatelor despre grupurile de matrice, atunci când sunt despre seturi arbitrare de matrice, analizează valoarea lui , nu . Acesta nu este un accident, ci o necesitate tehnică asociată cu non-comutativitatea. [28] $|AAA|$ $|AA|$

dacă , atunci pentru mulțimea de matrici (se află în grupul Heisenberg) este adevărat că , unde [29] $A\subset {\mathbb {R} }$ ${\mathcal {A}}=\left\lbrace {{\begin{pmatrix}1&a&0\\0&1&b\\0&0&1\end{pmatrix}}\ :\ a,b\in A}\right\rbrace$ $|{\mathcal {A}}{\mathcal {A}}|\gg |{\mathcal {A}}|^{7/4+c}$ $c>0$

lasă generează întregul grup și . Apoi [30] $A\subset {\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$ $\forall a\in A\ :\ a^{-1}\in A$ $|AAA|\gg \min\{|A|^{21/20},\ |{\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})|\ }$

$\forall A\subset {\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})\ :\ |A|>2|G|^{1-{\frac {1}{3(n+1)}}}\Rightarrow AAA={\mbox{SL}}_{n}({\mathbb {F} }_{p})$ (pentru alte grupuri, o estimare similară este posibilă, în funcție de dimensiunea reprezentărilor sale ) [31]

dacă și , atunci structura este strâns legată de subgrupuri (această legătură poate fi exprimată în termeni de ) [32] $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $|AAA|\ll |A|^{1+\delta },\ \delta >0$ $A$ $A\subset {\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {F} }_{p})$ $\delta$

Aplicații

Metodele analitice pentru studierea creșterii într-un grup și grupurile Chevalley pot fi utilizate pentru a deriva o formă specială a conjecturii Zaremba . [33] [34] ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

Vezi și

Referințe

P. Erdös, E. Szemeredi. Despre sume și produse de numere întregi (engleză) // Birkhäuser Verlag. - 1983. - P. 213-218 .

Oliver Roche-Newton, Imre Z. Ruzsa, Chun-Yen Shen, Ilya D. Shkredov. Pe dimensiunea setului . - 2018. - arXiv : 1801.10431v1 . $AA+A$

Oliver Roche-Newton, Ilya D. Shkredov. Dacă este mic, atunci este superquadratic . - 2019. - arXiv : 1810.10842v2 . $A+A$ $AAA$

Antal Balog. O notă cu privire la estimările produselor sumare (engleză) // Publicationes mathematicae. - 2011. - Vol. 79 , iss. 3 . - doi : 10.5486/PMD.2011.5104 .

M. Z. Garaev. Sume și produse ale mulțimilor și estimări ale sumelor trigonometrice raționale în câmpuri de ordin prim // Uspekhi matematicheskikh nauk . - Academia Rusă de Științe , 2010. - T. 65 , nr. 4 (394) . - S. 5-66 . doi : 10.4213 / rm9367 . (Rusă)

Ilya D. Shkredov, Dmitrii Zhelezov. Pe baze aditive ale seturilor cu set mic de produse . - 2016. - arXiv : math/1606.02320 .

A. A. Glibichuk. Proprietățile combinatorii ale mulțimilor de reziduuri modulo un prim și problema Erdős-Graham // Note matematice . - 2006. - T. 79 , nr. 3 . — S. 384–395 . (Rusă)

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. Pe seturi de produse repetate cu schimburi . - 2018. - arXiv : 1801.07982v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Dmitrii Zhelezov. Pe seturi de produse repetate cu schimburi II . - 2018. - arXiv : math/1806.01697v1 .

Sophie Stevens, Frank de Zeeuw. O incidență îmbunătățită a liniilor punctuale legate de câmpuri arbitrare // Buletinul Societății de Matematică din Londra. - 2017. - Vol. 49 , iss. 5 . - doi : 10.1112/blms.12077 . - arXiv : 1609.06284 .

Audie Warren. Despre produsele schimburilor în domenii arbitrare . - 2019. - arXiv : 1812.01981v2 .

Antal Balog, Oliver Roche-Newton, Dmitri Zhelezov. Expansori cu creștere superquadratică // Jurnalul electronic de combinatorie. - 2016. - Vol. 24 , iss. 3 . - doi : 10.37236/7050 . - arXiv : 1611.05251v1 .

I. D. Shkredov. Câteva observații despre mulțimi cu coeficient mic // Culegere matematică. - 2017. - T. 208 , nr. 12 . doi : 10.4213 / sm8733 . - arXiv : 1603.04948v2 . (Rusă)

Bryce Kerr, Simon Macourt. Sume exponențiale multiliniare cu o clasă generală de greutăți . - 2019. - arXiv : 1901.00975v2 .

Konstantin I. Olmezov, Aliaksei S. Semchankau, Ilya D. Shkredov. Pe sume populare și diferențe de seturi cu produse mici . - 2019. - arXiv : 1911.12005v1 .

Brandon Hanson, Oliver Roche-Newton, Misha Rudnev. Convexitate mai mare și seturi de sume iterate . - 2020. - arXiv : 2005.00125v1 .

I. D. Shkredov. Câteva rezultate noi privind energiile superioare // Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 2013. - T. 74 , nr. 1 . (Rusă)

J. Bourgain. Mai multe despre fenomenul produs sumă în câmpurile prime și aplicațiile sale // International Journal of Number Theory. - 2005. - Vol. 1 , iss. 1 . - doi : 10.1142/S1793042105000108 .

Doowon Koh, Hossein Nassajian Mojarrad, Thang Pham, Claudiu Valculescu. Expansoare cu patru variabile peste câmpurile prime // Proceedings of the American Mathematical Society. - 2018. - Vol. 146 , iss. 12 . - doi : 10.1090/proc/14177 . - arXiv : 1705.04255 .

Van Vu. Estimări suma-produs prin expansoare direcționate // Scrisori de cercetare matematică. - 2007. - Vol. 15 , iss. 2 . - doi : 10.4310/MRL.2008.v15.n2.a14 . - arXiv : 0705.0715 .

Ilya D. Shkredov. Câteva observații asupra produselor din seturile din grupul Heisenberg și din grupul afin . - 2019. - arXiv : 1907.03357 .

Mișa Rudnev, Ilya D. Shkredov. În ceea ce privește rata de creștere în , implicațiile grupului afin și tipului de produs sumă . - 2019. - arXiv : 1812.01671v3 . ${\mbox{SL}}_{2}({\mathbb {F} }_{p})$

H.A. Helfgott. Creștere în (engleză) . - 2009. - arXiv : 0807.2027 . ${\mbox{SL}}_{3}({\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })$

Nikolay Nikolov, Lászlo Pyber. Descompuneri de produse ale grupurilor cvasialeatoare și o teoremă de tip Jordan // Journal of the European Mathematical Society. - 2007. - Vol. 13 , iss. 4 . - doi : 10.4171/JEMS/275 . — arXiv : 0703343 .

Nikolay G. Moshchevitin, Ilya D. Shkredov. Pe o formă modulară a conjecturii lui Zaremba . - 2019. - arXiv : 1911.07487 .

Ilya D. Shkredov. Creșterea în grupurile Chevalley relativ la subgrupurile parabolice și unele aplicații . - 2020. - arXiv : 2003.12785 .

Note

↑ Reversul nu este adevărat - deoarece cuvântul „aditiv” este format din engleză. adaos (adăugare), utilizarea sa nu este cu siguranță adecvată pentru subiectul acestui articol. De exemplu, Green , într-o recenzie a monografiei lui Tao , când începe să vorbească despre teorema produsului sumă, menționează că se abate de la definiția combinatoriei aditive („Deși mă feresc de o definiție a combinatoriei aditive... ").
↑ Erdös, Szemerédi, 1983 .
↑ Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 , observație după Teorema 1.5
↑ Denumirea , folosită în continuare, nu este general acceptată. $E_{AB+C}$
↑ Vezi explicația despre exemplul teoremei produsului sumă din Garaev, 2010 (Teorema 1.1 și comentariul imediat după aceasta)
↑ Balog, 2011 .
↑ Extras din raportul lui S. V. Konyagin
↑ Shkredov, Zhelezov, 2016 , consecința 2
↑ , pentru detalii vezi Roche-Newton, Ruzsa, Shen, Shkredov, 2018 $c>2^{-222}$
↑ , pentru detalii vezi Roche-Newton, Shkredov, 2019 $c_{2}={\frac {1}{392}}-c_{1}{\frac {125}{56}}-o(1)$
↑ Balog, Roche-Newton, Zhelezov, 2016 .
↑ Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2019 , propunerea 12
↑ Kerr, Macourt, 2019 , corolarul 2.11
↑ Reversul, în general vorbind, nu este adevărat: o schimbare multiplicativă poate să nu modifice în niciun fel proprietățile aditive ale mulțimii. Dacă este o progresie aritmetică și , atunci pentru orice . Dar uneori se dovedește a folosi idei similare - vezi, de exemplu, Lema 2 din Glibichuk, 2006 , unde, atunci când se demonstrează un analog al problemei lui Waring într-un câmp finit, o afirmație similară este formulată în termeni de energie aditivă comună despre existența a schimbului necesar. $A\subset {\mathbb {R} }_{+)$ $k\cdot A=\{ka\:\ a\in A\)$ $|k\cdot A+k\cdot A|=|A+A|$ $k$
↑ Stevens, de Zeeuw, 2017 , investigația 10
↑ Warren, 2019 .
↑ Shkredov, 2013 , consecința 5.8
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (I), 2018 .
↑ Shkredov, 2017 , teorema 12
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , teorema 4.1
↑ Hanson, Roche-Newton, Zhelezov (II), 2018 .
↑ Polinoamele, într-un fel sau altul legate de creșterea unei mulțimi, sunt adesea numite expansori în literatură.
↑ Vezi secțiunea 5.2 din Garaev, 2010
↑ Bourgain, 2005 , teorema 2.1 (vezi și versiunea rusă în Garaev, 2010 , teorema 5.2)
↑ Koh, Mojarrad, Pham, Valculescu, 2018 , Teorema 1.10
↑ Vu, 2007 , Teorema 1.2
↑ Orice element al produsului de matrice este de fapt un polinom în elementele matricelor înmulțite
↑ Vezi nota din Helfgott, 2009 , nota de subsol la p. 3, precum și faptul că inegalitatea Plünnecke-Rouge în grupurile necomutative are o formă specială.
↑ Shkredov, 2019 , teorema 2
↑ Rudnev, Shkredov, 2019 , teorema 2
↑ Vezi Nikolov, Pyber, 2007 , teza 2 și remarca în Helfgott, 2009 la începutul secțiunii 1.3.1
↑ Helfgott, 2009 , Teorema 1.1
↑ Moshchevitin, Shkredov, 2019 .
↑ Shkredov, 2020 .