Cele mai mici pătrate în doi pași

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 26 februarie 2022; verificările necesită 2 modificări .

Cele mai mici pătrate în două etape ( OLS în două etape, DMNK, TSLS, 2SLS - ing. Cele mai mici pătrate în două etape ) - o metodă de estimare a parametrilor modelelor econometrice , în special a sistemelor de ecuații simultane , constând din două etape (pași) , fiecare dintre ele utilizează metoda celor mai mici pătrate .

Cele mai mici pătrate în doi pași sunt strâns legate de metoda variabilelor instrumentale . Uneori se numește metoda generalizată sau pur și simplu metoda variabilelor instrumentale. La evaluarea ecuațiilor individuale, sunt utilizate variabile suplimentare (instrumentale) care nu sunt direct implicate în model. Utilizarea lor se datorează faptului că unii dintre factorii modelului pot să nu satisfacă cerinţa de exogeneitate . Atunci când se evaluează sisteme de ecuații simultane, variabilele exogene ale sistemului sunt de obicei instrumentele.

Esența metodei

Fie X un set de factori ai modelului econometric, dintre care unii pot fi endogeni, alții exogeni. Să fie dat și un set de variabile exogene Z pentru model (unele dintre ele pot participa la model, iar altele nu). Numărul de instrumente nu trebuie să fie mai mic decât numărul de factori inițiali ai modelului.

Procedura OLS în două etape este următoarea:

Pasul 1 . Cele mai mici pătrate obișnuite estimează regresia factorilor X pe instrumente . Estimările parametrilor pentru acest model sunt în mod evident egale cu: $X=ZB+U$

${\hat {B}}_{OLS}=(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X$ .

Ca rezultat, obținem următoarele estimări ale variabilelor originale:

${\hat {X}}=Z{\hat {B}}=Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X=P_{Z}X~,~P_ {Z}=Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}$

Pasul 2 . În a doua etapă, modelul inițial este estimat (și prin cele mai mici pătrate uzuale), înlocuind factorii modelului cu estimările lor obținute la prima etapă:

${\hat {b}}_{TSLS}=({\hat {X}}^{T}{\hat {X}})^{-1}{\hat {X}}^{T }y=(X^{T}P_{Z}^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}^{T}y$

Având în vedere că în sfârșit obținem formula pentru estimarea celor mai mici pătrate în două etape: $P_{Z}^{T}=P_{Z}~,~P_{Z}^{T}P_{Z}=P_{Z)$

${\hat {b}}_{TSLS}=(X^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y~,~~P_{Z} =Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}$

Dacă matricea de covarianță a erorilor aleatoare a modelului este proporțională cu unitatea, adică , atunci matricea de covarianță a acestor estimări este egală cu $\sigma ^{2}I$ $V_{{\hat {b}}_{TSLS}}=\sigma ^{2}(X^{T}P_{Z}X)^{-1}$

Cele mai mici pătrate ponderate în doi pași

Dacă la fiecare dintre cei doi pași aplicăm nu cele obișnuite, ci cele mai mici pătrate ponderate cu aceeași matrice de ponderi , atunci obținem estimări ale celor mai mici pătrate ponderate în două etape (Weighted TSLS, WTSLS ): $W$

${\hat {b}}_{WTSLS}=(X^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y~,~~P_{Z} =WZ(Z^{T}WZ)^{-1}WZ^{T}$

Formula matricei de covarianță este similară cu TSLS obișnuit, ținând cont de formula pentru . $P_{Z}$

Relația cu metoda variabilelor instrumentale

Metoda MCO în două etape mai este denumită și Estimatorul de variabile instrumentale generalizate (GIVE) sau pur și simplu metoda variabilelor instrumentale. Dacă numărul de instrumente z este același cu numărul de variabile originale (cazul exact de identificare ), atunci matricele sunt pătrate. prin urmare $Z^{T}X,~X^{T}Z$

${\hat {b}}_{TSLS}=(X^{T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X)^{-1}X^{ T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}y=(Z^{T}X)^{-1}(Z^{T}Z)(X^{T} Z)^{-1}(X^{T}Z)(Z^{T}Z)^{-1}(Z^{T}y)=(Z^{T}X)^{-1} Z^{T}y$

Adică obținem formula clasică a metodei variabilelor instrumentale . ${\hat {b}}_{IV}=(Z^{T}X)^{-1}Z^{T}y$

De asemenea, este necesar să se remarce legătura cu metoda variabilelor instrumentale în sens invers, și anume, metoda celor mai mici pătrate în două etape este un caz special al metodei IP, când se folosesc estimările celor mai mici pătrate ale factorilor pentru unele variabile Z. ca instrumente:

${\hat {b}}_{IV}=({\hat {X}}^{T}X)^{-1}{\hat {X}}^{T}y=(X^ {T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y$

care coincide cu formula celor mai mici pătrate în două etape.

Cele mai mici pătrate în două etape în sisteme de ecuații simultane

În sistemele de ecuații simultane, cele mai mici pătrate în doi pași sunt folosite pentru a estima parametrii ecuațiilor structurale, deoarece acestea din urmă implică variabile endogene ale modelului ca factori, iar utilizarea celor mai mici pătrate obișnuite duce la estimări părtinitoare și inconsistente .

Aici, variabilele exogene ale modelului în sine sunt utilizate de obicei ca instrumente Z. În consecință, procedura de estimare constă în faptul că la prima etapă, cele mai mici pătrate uzuale estimează regresia variabilelor endogene pe toate variabilele exogene ale sistemului, iar apoi aceste estimări sunt utilizate la a doua etapă în locul variabilelor endogene ale partea dreaptă a ecuației structurale, căreia i se aplică cele mai mici pătrate obișnuite.

Această abordare face posibilă obținerea unor estimări consistente ale parametrilor formei structurale.

Cele mai mici pătrate în doi pași

Esența metodei

Cele mai mici pătrate ponderate în doi pași

Relația cu metoda variabilelor instrumentale

Cele mai mici pătrate în două etape în sisteme de ecuații simultane

Vezi și