Estimator imparțial

O estimare imparțială în statistica matematică este o estimare punctuală a cărei așteptare matematică este egală cu parametrul estimat.

Definiție

Să fie un eșantion din distribuția în funcție de parametru . Atunci estimarea se numește imparțial dacă ${\vec {x}}=\left(x_{1},\ldots,x_{n}\right)$ $\theta \în \Theta$ ${\hat {\theta }}\equiv {\hat {\theta }}\left({\vec {x}}\right)$

{\mathbb {E}}\left[{\hat {\theta }}\right]=\theta ,\quad \forall \theta \in \Theta

Unde

$\mathbb {E} \left[X\right]$ — așteptări matematice ;
$\pentru toți$ este cuantificatorul universal .

În caz contrar, estimarea se numește părtinitoare, iar variabila aleatoare se numește părtinire . $\mathbb {E} {\hat {\theta }}-\theta$

Exemple

Media eșantionului este o estimare imparțială a așteptărilor matematice , deoarece dacă , , atunci . ${\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}X_{i}$ $X_{i}$ $\mathbb {E} X_{i}=\mu <\infty$ $\forall i\in \mathbb {N}$ ${\mathbb {E}}{\bar {X}}=\mu$

Fie variabile aleatoare independente să aibă varianță finită . Să construim estimări $X_{i}$ ${\mathrm {D}}X_{i}=\sigma ^{2}$

S_{n}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}} \dreapta)^{2}

este varianța eșantionului ,

și

S^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \limits _{{i=1}}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\ dreapta)^{2}

este varianța eșantionului corectată .

Apoi sunt estimările părtinitoare și nepărtinitoare ale parametrului . Prejudecata poate fi demonstrată în felul următor. $S_{n}^{2}$ $S^{2}$ $\sigma ^{2}$ $S_{n}^{2}$

Fie și media și respectiv estimarea acesteia, atunci: $\mu$ $\overline {X}$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-{\overline {X)))^{2}{\bigg ]}.

Adunând și scăzând , și apoi grupând termenii, obținem: $\mu$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }{\big (}(X_{i}-\mu )-({\overline {X}}-\mu ){\big )}^{2}{\bigg ]}.

Să o pătram și să obținem:

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-2({\overline {X}}-\mu ){\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n} (X_{i}-\mu )+{\frac {n}{n}}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Remarcând că , obținem: ${\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )={\overline {X}}-{\frac {1}{ n}}(n\mu)$

\operatorname {E} [S_{n}^{2}]=\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n }(X_{i}-\mu )^{2}-({\overline {X}}-\mu )^{2}{\bigg ]}.

Dat fiind

$\operatorname {E} [a+b]=\operatorname {E} [a]+\operatorname {E} [b]$ (proprietatea așteptării matematice);
$\operatorname {E} {\bigg [}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}{\ mare ]}=\sigma ^{2}$ - dispersie ;
$\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}={\frac {1}{n}}\sigma ^{2 }$ , deoarece , ținând cont de faptul că și sunt independente și , adică , $\operatorname {E} {\big [}({\overline {X}}-\mu )^{2}{\big ]}=\operatorname {E} {\big [}{\big (} {\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu ){\big )}^{2}{\big ]}=\operatorname {E } {\big [}{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{i=1}^{n}(X_{i}-\mu )^{2}+{\frac { 2}{n^{2))}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\ mare ]}$ $X_{i}$ $X_{j}$ $\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ]}=0$ $\operatorname {E} {\big [}\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}(X_{i}-\mu )(X_{j}-\mu ){\big ]}=\sum _{i=1,j=1,i<j}^{n}\operatorname {E} {\big [}(X_{i}-\mu ){\big ] }\operatorname {E} {\big [}(X_{j}-\mu ){\big ]}=0$

primim:

{\begin{aligned}\operatorname {E} [S_{n}^{2}]&=\sigma ^{2}-\operatorname {E} {\big [}({\overline {X} }-\mu )^{2}{\big ]}=\\&=\sigma ^{2}-{\frac {1}{n))\sigma ^{2}=\\&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}<\sigma ^{2}.\end{aliniat}}

Literatură și câteva referințe

MG Kendall. „Teoria avansată a statisticii (vol. I). Teoria distribuției (ediția a II-a)”. Charles Griffin & Company Limited, 1945.
MG Kendall și A. Stuart. „Teoria avansată a statisticii (vol. II). Inferență și relație (ediția a II-a)”. Charles Griffin & Company Limited, 1967.
A. Papoulis. Probabilitate, variabile aleatoare și procese stocastice (ediția a III-a). McGrow-Hill Inc., 1991.
G. Saporta. „Probabilități, analize de date și statistici”. Edițiile Technip, Paris, 1990.
JF Kenney și ES Keeping. Matematica Statisticii. Partea I și II. D. Van Nostrand Company, Inc., 1961, 1959.
IV Blagouchine și E. Moreau: „Estimări adaptive imparțiale ale cumulantului de ordinul al patrulea pentru semnalul mediu aleatoriu real”, IEEE Transactions on Signal Processing , voi. 57, nr. 9, pp. 3330–3346, septembrie 2009.
Un contraexemplu iluminator