Diferențial (geometrie diferențială)

Diferențial (din lat. diferență - diferență, diferență) în matematică - partea liniară a incrementului unei funcții diferențiabile sau afișare . Această noțiune este strâns legată de noțiunea de derivată direcțională .

Notație

Diferenţialul este de obicei notat . Unii autori preferă să folosească romanul pentru a sublinia că diferenţialul este un operator . Diferenţialul într-un punct este notat , iar uneori sau . ( este o funcție liniară pe spațiul tangent în punctul .) $f$ $df$ $\operatorname {d} f$ $X$ $d_{x}f$ $df_{x)$ $df[x]$ $d_{x}f$ $X$

Dacă există un vector tangent în punctul , atunci valoarea diferenţialului on este de obicei notată cu , această notaţie este redundantă, dar notaţia , şi este de asemenea valabilă. $v$ $X$ $v$ $df(v)$ $X$ $d_{x}f(v)$ $df_{x}(v)$ $df[x](v)$

Se folosește și notația ; aceasta din urmă se datorează faptului că diferenţialul este o ridicare naturală a fasciculelor tangente la varietăţi şi . $f_{*}$ $f\colon M\la N$ $f$ $M$ $N$

Definiții

Pentru funcții cu valoare reală

Să fie o manifold netedă și o funcție lină. Diferenţialul este o formă de 1 pe , de obicei notat şi definit prin relaţie $M$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $f$ $M$ $df$

df(X)=d_{p}f(X)=Xf,

unde denota derivata fata de directia vectorului tangent in punctul . $xf$ $f$ $X$ $p\în M$

Pentru mapări ale varietăților netede

Diferența unei mapări netede de la o varietate netedă la o varietate este o mapare între fasciculele lor tangente , astfel încât pentru orice funcție netedă avem $F\colon M\la N$ $dF\colon TM\to TN$ $g\colon N\la \mathbb {R}$

[dF(X)]g=X(g\circ F),

unde denota derivata directionala . (În partea stângă a egalității, derivata este luată în funcția față de ; în dreapta, în funcția față de ). $xf$ $f$ $X$ $N$ $g$ $dF(X)$ $M$ $g\circ F$ $X$

Acest concept generalizează în mod natural conceptele diferenţialului unei funcţii.

Definiții înrudite

Un punct al unei varietăți se numește punct critic al unei hărți dacă diferența nu este surjectivă (vezi și teorema lui Sard ) $X$ $M$ $f:M\la N$ $d_{x}f:T_{x}M\la T_{f(x)}N$
- De exemplu, punctele critice ale funcțiilor sunt exact puncte staționare. Pentru funcțiile , acestea sunt punctele în care matricea diferențială degenerează. $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\mathbb {R} \to \mathbb {R}$
- În acest caz se numește
valoarea critică . $f(x)$ $f$
Un punct se numește regulat dacă nu este critic. $y\in N$

O hartă netedă se numește scufundare dacă, pentru orice punct , diferența este surjectivă .

F\colon M\la N

x\în M

d_{x}F\colon T_{x}M\la T_{F(x)}N

O hartă netedă se numește imersiune lină dacă, pentru orice punct , diferența este injectivă .

F\colon M\la N

x\în M

d_{x}F\colon T_{x}M\la T_{F(x)}N

Proprietăți

Diferenţialul de compoziţie este egal cu compoziţia diferenţialelor: $d(F\circ G)=dF\circ dG$ sau $d_{x}(F\circ G)=d_{G(x)}F\circ d_{x}G$

Exemple

Fie dată o funcție netedă într-un set deschis . Atunci , unde denotă derivata lui , și este forma constantă definită de . $\Omega \subset \mathbb {R}$ $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $df=f'\,dx$ $f'$ $f$ $dx$ $dx(V)=V$
Fie dată o funcție netedă într-un set deschis . Apoi . Forma poate fi determinată prin relația , pentru vector . $\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$ $f\colon \Omega \to \mathbb {R}$ $df=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i)}}\,dx_{i)$ $dx_i$ $dx_{i}(V)=v_{i}$ $V=(v_{1},\;v_{2},\;\ldots ,\;v_{n})$
Lasă o mapare netedă să fie dată într-un set deschis . Apoi $\Omega \subset \mathbb{R} ^{n}$ $F\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{m}$ $d_{x}F(v)=J(x)v,$

unde este matricea jacobiană a mapării în punctul .

J(x)

F

X

Vezi și

Coddiferențial