Vector tangent

Un vector tangent este un element al spațiului tangent , de exemplu, un element al unei linii tangente la o curbă, un plan tangent la o suprafață și așa mai departe.

Vector tangent la curbă

Fie ca funcția să fie definită într-o vecinătate a punctului și să fie diferențiabilă în ea: . $f\colon U(x_{0})\subset {\mathbb {R}}\la {\mathbb {R}}$ $x_{0}\în {\mathbb {R}}$ $f\in {\mathcal {D}}(x_{0})$

Un vector tangent la un grafic al unei funcții într-un punct este un vector cu componente $f$ $x_{0}$

${\vec {e}}={\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2)}))\cdot {\vec {e}}_{x }+{\frac {f'(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2))))\cdot {\vec {e}}_{y}$ .
Dacă o funcție are o derivată infinită într-un punct, atunci vectorul tangent $f$ $x_{0}$ $f'(x_{0})=\pm \infty ,$ ${\vec {e}}={\vec {e}}_{y}$ .

Definiție generală

Un vector tangent la o varietate netedă într-un punct este un operator care atribuie un număr fiecărei funcții netede și are următoarele proprietăți: $M$ $p\în M$ $X$ $f\colon M\to \mathbb {R}$ $xf$

aditivitate: $X(f+h)=Xf+Xh,$
regula lui Leibniz : $X(fh)=(Xf)\cdot h(p)+f(p)\cdot (Xh).$

Mulțimea tuturor acestor operatori într-un punct are structura naturală a unui spațiu liniar și anume: $p$

(X+Y)f=Xf+Yf;

(k\cdot X)f=k\cdot (Xf),\\forall k\in \mathbb {R}

Colecția tuturor vectorilor tangenți într-un punct formează un spațiu vectorial , care se numește spațiu tangent într-un punct . Colecția tuturor vectorilor tangenți în toate punctele varietatii formează un mănunchi de vectori , care se numește un pachet tangent . $p$ $p$

Vector tangent ca clasă de echivalență a căii

Conceptul de vector tangent la o varietate într-un punct generalizează conceptul de vector tangent la o cale netedă în spațiul R n . Fie dat o cale netedă în R n : $\mathbf {f} \colon [0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{n)$

\mathbf {f} (t)=f_{1}(t)\mathbf {e} _{1}+f_{2}(t)\mathbf {e} _{2}+\dots +f_ {n}(t)\mathbf {e} _{n}

Apoi există o singură cale rectilinie și uniformă care o atinge la momentul t 0 : $\mathbf {l} (t)$

\mathbf {l} (t)=\mathbf {f} (t_{0})+(t-t_{0})\left({\partial f_{1} \over \partial t}(t_ {0})\mathbf {e} _{1}+{\partial f_{2} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{2}+\dots +{\partial f_ {n} \over \partial t}(t_{0})\mathbf {e} _{n}\right)

Atingerea a două căi și înseamnă că ; relaţia de tangenţă a drumurilor într-un punct este o relaţie de echivalenţă . Vectorul tangent în punctul x 0 poate fi definit ca clasa de echivalență a tuturor căilor netede care trec prin punctul x 0 în același timp și se ating reciproc în acel punct. $\mathbf {f} _{1}(t)$ $\mathbf {f} _{2}(t)$ $\mathbf {f} _{1}(t)-\mathbf {f} _{2}(t)=o(t-t_{0})$

Vector tangent la o subvarietate

Vectorul tangent într-un punct al unei subvariete netede a spațiului euclidian este vectorul viteză într-un punct al unei curbe în . $p$ $M$ $p$ $M$

Cu alte cuvinte, vectorul tangent într-un punct al unei subvariete definit local parametric $p$

r\colon \mathbb {R} ^{m}\la \mathbb {R} ^{n)

cu ,

p=r(0)\

este o combinație liniară arbitrară de derivate parțiale . ${\frac {\partial r}{\partial x_{i)}}(0)$

Note

Pentru această definiție a unui vector tangent, este suficient ca subvarietatea să fie de clasă de netezime . $C^1$
Conform teoremei de încorporare a lui Whitney , orice varietate netedă n - dimensională admite o încorporare în . Prin urmare, fără a încălca rigoarea, această definiție poate fi utilizată pentru orice colector neted. Desigur, în acest caz va fi necesar să se dovedească independența definiției față de încorporare. $\mathbb{R} ^{{2n}}$

Literatură

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă. Metode și aplicații. - 2e. — M .: Nauka , 1986. — 760 p.
Zorich V. A. Analiză matematică, Vol. 1,2. — M .: Nauka , 1981.
Cartan A. Calcul diferenţial. forme diferențiale. — M .: Mir , 1971.