Ecuații diferențiale ale lui Lagrange și Clairaut

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 26 iunie 2016; verificările necesită 3 modificări .

O ecuație diferențială este o relație care leagă o variabilă , funcția dorităși derivatele acesteia , adică o relație de forma: $X$ $y$

$\Phi (x,y',y'',...,y^{(n)})=0$

Ecuațiile diferențiale găsesc cea mai largă aplicație în diverse domenii ale științei și tehnologiei. Ele apar la rezolvarea problemelor când se stabilește o relație între o funcție a unei variabile și derivatele acesteia. $y$ $X$

Ecuația diferențială a lui Lagrange

Să considerăm o ecuație diferențială de ordinul întâi de următoarea formă

$y=x\varphi (y')+\psi (y')$

unde și sunt funcții cunoscute ale , și presupunem că funcția este diferită de . Acest tip de ecuație se numește ecuație Lagrange. Este liniară în raport cu variabilele și . $\varphi$ $\psi$ $tu$ $\varphi (y')$ $tu$ $X$ $y$

O astfel de ecuație diferențială trebuie rezolvată, după cum se spune, prin introducerea unui parametru auxiliar. Să găsim soluția sa generală introducând parametrul . Atunci ecuația poate fi scrisă astfel: $y'=p$

$y=x\varphi (p)+\psi (p)$ $\longleftrightarrow$ $(unu)$

Observând că diferențiem ambele părți ale acestei ecuații în raport cu : $p={dy\peste dx}$ $X$

$p=\varphi (p)+[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx)$

Să-l transformăm în

$p-\varphi (p)=[x\varphi '(p)+\psi '(p)]{dp \over dx)$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Chiar și acum, unele soluții pot fi găsite din această ecuație, dacă observați că se transformă într-o egalitate adevărată pentru orice valoare constantă a lui , îndeplinind condiția . Într-adevăr, pentru orice valoare constantă a lui , derivata dispare în mod identic și atunci ambele părți ale ecuației pot fi egalate cu zero. $p=p_{0}$ $p_{0}-\varphi (p_{0})=0$ $p$ ${dp \over dx)$

Soluția corespunzătoare fiecărei valori a lui , adică , este o funcție liniară a lui , deoarece derivata lui , este constantă numai pentru funcțiile liniare . Pentru a găsi această funcție, este suficient să înlocuiți valoarea în egalitatea , adică $p=p_{0}$ ${dy \over dx}=p_{0}$ $X$ ${dy \over dx)$ $(unu)$ $p=p_{0}$

$y=x\varphi (p_{0})+\psi (p_{0})$ .

Dacă se dovedește că această soluție nu poate fi obținută din cea generală pentru orice valoare a unei constante arbitrare, atunci va fi o soluție specială .

Să găsim acum o soluție generală. Pentru a face acest lucru, scriem ecuația sub forma $(2)$

${dx \over dp}-x{\varphi '(p) \over p-\varphi (p)}={\psi '(p) \over p-\varphi (p))$

și vom considera , în funcție de . Atunci ecuația rezultată nu este altceva decât o ecuație diferențială liniară în raport cu funcția de . Rezolvând-o, găsim $X$ $p$ $X$ $p$

$x=\omega (p,C)$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

Eliminând parametrul din ecuații și găsiți integrala generală a ecuației în formă $p$ $(unu)$ $(3)$ $(unu)$

$\Phi (x,y,C)=0$ .

Ecuația diferențială a lui Clairaut

Luați în considerare o ecuație diferențială de următoarea formă

$y=xy'+\psi (y')$ $\longleftrightarrow$ $(unu)$

O astfel de ecuație se numește ecuația Clairaut.

Este ușor de observat că ecuația Clairaut este un caz special al ecuației Lagrange când . Se integrează în același mod prin introducerea unui parametru auxiliar. $\varphi (y')=y'$

Lasă . Apoi $y'={dy \over dx}=p$

$y=xp+\psi (p)$ $\longleftrightarrow$ $(2)$

Diferențiam această ecuație față de , în același mod ca și cu ecuația Lagrange, observând că , scriem $X$ $p={dy\peste dx}$

$p=x{dp \over dx}+p+\psi '(p){dp \over dx}$

Să-l transformăm în

$[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$

Echivalând fiecare factor cu zero, obținem

${dp \over dx}=0$ $\longleftrightarrow$ $(3)$

și

$[x+\psi '(p)]=0$ $\longleftrightarrow$ $(patru)$

Integrând ecuația obținem . Înlocuiți valoarea din ecuație și găsiți integrala ei comună $(3)$ $p=C=const$ $p$ $(2)$

$y=xC+\psi (C)$ $\longleftrightarrow$ $(5)$

Din punct de vedere geometric, această integrală este o familie de linii drepte . Dacă găsim din ecuație în funcție de , atunci o înlocuim în ecuație , atunci obținem funcția $(patru)$ $p$ $X$ $(2)$

$y=xp(x)+\psi[p(x)]$ $\longleftrightarrow$ $(6)$

Care, după cum este ușor de arătat, este soluția ecuației . Într-adevăr, în virtutea egalității, găsim $(unu)$ $(patru)$

${dy \over dx}=p+[x+\psi '(p)]{dp \over dx)$

Dar de atunci . Prin urmare, substituind funcția în ecuație , obținem identitatea $[x+\psi '(p)]{dp \over dx}=0$ ${dy \over dx}=p$ $(6)$ $(unu)$

$xp+\psi (p)=xp+\psi (p)$ .

Soluția nu se obține din integrala generală pentru orice valoare a unei constante arbitrare . Această soluție este o soluție specială, care se obține datorită eliminării parametrului din ecuații $(6)$ $(5)$ $C$ $p$

$y=xp+\psi (p)$ și $x+\psi '(p)=0$

sau, ce nu contează, o excepție de la ecuații $C$

$y=xC+\psi (C)$ și $x+\psi '(C)=0$

Prin urmare, o soluție specială a ecuației Clairaut determină anvelopa familiei de drepte dată de integrala generală . $(5)$

Aplicații ale ecuației Clairaut.

Problemele geometrice sunt aduse ecuației Clairaut, unde este necesară determinarea curbei, conform unei proprietăți date a tangentei sale , iar această proprietate ar trebui să se refere la tangenta în sine, și nu la punctul tangentei. Într-adevăr, ecuația tangentei are forma

$Yy=y'(Xx)$

$Y=y'X+(y-xy')$

Orice proprietate a unei tangente este exprimată prin relația dintre și : $(y-xy')$ $tu$

$\Phi (y-xy',y')=0$

Rezolvând-o în raport cu , ajungem la o ecuație de formă $(y-xy')$

$y=xy'+\psi (y')$ , adică la nimic altceva decât ecuația Clairaut.

Literatură

V. I. Smirnov „Curs de matematică superioară”, volumul doi, Editura Nauka, Moscova 1974.

N. S. Piskunov „Calcul diferențial și integral”, volumul doi, editura Nauka, Moscova 1985

K. N. Lungu, V. P. Norin și colab., „Colecție de probleme de matematică superioară”, anul II, Moscova: Iris-press, 2007

Vezi și