Jordanov totient

Jordan totient sau funcția Jordan [1] este numărul de - tuple de numere naturale mai mici sau egale cu , formând împreună cu o mulțime de numere coprime (împreună). Funcția este o generalizare a funcției Euler , care este egală cu . Funcția este numită după matematicianul francez Jordan . $k$ $n$ $n$ $J_{1}$

Definiție

Funcția Jordan este multiplicativă și poate fi calculată din formulă

J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\stanga(1-{\frac {1}{p^{k))}\dreapta)\,

, unde trece prin divizorii primi ai .

p

n

Proprietăți

$\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}\,$ ,

care poate fi scris în limbajul de convoluție Dirichlet ca [2]

J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,

, iar prin inversiuni Möbius ca

J_{k}(n)=\mu (n)\stea n^{k)

. Deoarece funcția generatoare Dirichlet este , iar funcția generatoare Dirichlet este , seria pentru devine

\mu

1/\zeta(e)

n^{k)

\zeta (sk)

J_{k)

\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (sk)}{\zeta (s)} }

Comanda medie pentruegali $J_{k}(n)$

{\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)))

Funcția psi Dedekind este egală cu

\psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)))

și examinând definiția (rețineți că fiecare factor din produsul prin numere prime este un polinom circular ), se poate demonstra că funcțiile aritmetice definite ca sau sunt funcții multiplicative întregi. $p_{-k)$ ${\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)))$ ${\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))$

$\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta)J_{s}\left({\frac {n}{\delta}}\right)=J_ {r+s}(n)$ . [3] [4]

Ordinea grupurilor de matrice

Grupul liniar complet de matrici de ordin peste are ordin [5] $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatorname {GL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^ {m}J_{k}(n).

Grupul liniar special de ordine peste are ordine $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatorname {SL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2))\prod _{k=2}^ {m}J_{k}(n).

Grupul simplectic de matrici de ordine peste are ordine $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatorname {Sp} (2m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}( n).

Primele două formule au fost descoperite de Jordan.

Exemple

Listări în OEIS J 2 în A007434 , J 3 în A059376 , J 4 în A059377 , J 5 în A059378 , J 6 până la J 10 în listările A069091 - A069095 .

Funcții multiplicative definite prin raportul J2 ( n)/J1 ( n) în A001615 , J3 (n)/J1 ( n) în A160889 , J4(n) / J1 ( n ) în A160891 , J5 (n)/J 1 (n) în A160893 , J 6 (n)/J 1 (n) în A160895 , J 7 (n)/J 1 (n) în A160897 , J 8 (n)/J 1 (n ) ) în A160908 , J9 (n)/J1 (n) în A160953 , J10 (n)/J1 ( n) în A160957 , J11 (n)/J1 ( n ) în A160960 .

Exemple de rapoarte J2k (n)/Jk (n) : J4 (n)/J2 ( n ) în A065958 , J6 (n)/ J3 (n) în A065959 și J8 (n)/J 4 (n) în A065960 .

Note

↑ Există și alte funcții Jordan. Deci, Merzlyakov scrie: „ Teorema . Există o „funcție Jordan” cu următoarea proprietate: fiecare grup finit G de conține un subgrup normal abelian A cu indice . $J:\mathbb {N} \la \mathbb {N}$ $GL_{n}(\mathbb {C} )$ $\leqslant L(n)$
↑ Sandor, Crstici, 2004 , p. 106.
↑ Holden, Orrison, Varble .
↑ Formula Gegenbauer
↑ Andrica, Piticari, 2004 .

Literatură

Dickson LE Istoria teoriei numerelor , voi. I. - Editura Chelsea , 1971. - P. 147. - ISBN 0-8284-0086-5 .
M. Ram Murty. Probleme în teoria analitică a numerelor. - Springer-Verlag , 2001. - T. 206. - P. 11. - ( Texte de absolvent în matematică ). - ISBN 0-387-95143-1 .
Jozsef Sandor, Borislav Crstici. Manual de teorie a numerelor II. - Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. - P. 32–36. — ISBN 1-4020-2546-7 .
Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble. Încă o generalizare a funcției Totient a lui Euler . Arhivat din original pe 5 martie 2016.
Dorin Andrica, Mihai Piticari. Despre unele extensii ale funcțiilor aritmetice ale lui Jordan // Acta universitatis Apulensis. - 2004. - Nr 7 .

Link -uri

Merzlyakov Yu.I. grupuri raţionale. - Moscova: „Nauka”, 1980. - (Algebră modernă).

Funcția Euler
Funcția Euler $\phi(n)$ Funcția Jordan $J_{k}(n)$ Funcția Carmichael $\lambda (n)$ numar non-totient Număr non-cotient Număr Tient ridicat Număr coeficient ridicat Număr ușor