Integrale Fresnel

Integrale Fresnel S ( x ) şi C ( x ) sunt funcţii speciale numite după Augustin Jean Fresnel şi utilizate în optică . Acestea apar la calcularea difracției Fresnel și sunt definite ca

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt,\quad C(x)=\int \limits _{0}^{ x}\cos(t^{2})\,dt.

O diagramă parametrică de S ( x ) și C ( x ) oferă o curbă în plan, numită spirală Cornu sau clotoid .

Extinderea seriei

Integrale Fresnel pot fi reprezentate prin serii de puteri care converg pentru tot x :

S(x)=\int \limits _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(4n+3)(2n+1)!}}={\frac {x^{3}}{3}}-{\frac { x^{7}}{42}}+{\frac {x^{11}}{1320}}-\cdots ,

C(x)=\int \limits _{0}^{x}\cos(t^{2})\,dt=\sum _{n=0}^{\infty }(-1) ^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(4n+1)(2n)!}}=x-{\frac {x^{5}}{10}}+{\frac { x^{9}}{216}}-\cdots .

Unii autori [1] folosesc ca argument integranții trigonometrici . Integrale Fresnel definite în acest fel se obțin din integralele definite mai sus prin schimbarea variabilei și înmulțirea integralelor cu . ${\frac {\pi }{2}}t^{2}$ $t\la {\sqrt {\frac {\pi }{2)}}t$ ${\sqrt {\frac {2}{\pi ))}$

Spiral Cornu

O spirală Cornu , cunoscută și sub numele de clotoidă , este o curbă care este o diagramă parametrică a lui S ( t ) față de C ( t ). Spirala Cornu a fost inventată de Marie Alfred Cornu pentru a facilita calculul difracției în probleme aplicate.

pentru că

C\,'(t)^{2}+S\,'(t)^{2}=\sin ^{2}(t^{2})+\cos ^{2}(t^ {2})=1,

atunci în această parametrizare vectorul tangent are lungimea unitară, deci t este lungimea curbei măsurată din punctul (0,0). Prin urmare, ambele ramuri ale spiralei au lungime infinită.

Curbura acestei curbe în orice punct este proporțională cu lungimea arcului dintre acel punct și origine. Datorită acestei proprietăți, este utilizat în construcția drumurilor, deoarece accelerația unghiulară a unei mașini care se deplasează de-a lungul acestei curbe cu o viteză constantă va rămâne constantă.

Proprietăți

$S x)$ și sunt funcții impare . $C(x)$ $X$

Asimptoticele integralelor Fresnel sunt date de formule $x\la \infty$

S(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}-{\ frac {\cos {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ sin {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right),

C(x)={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {{\mbox{sign}}{(x))){2}}+{\ frac {\sin {(x^{2})}}{x{\sqrt {2\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]-{\frac {\ cos {(x^{2})}}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\left[1+O(x^{-4})\right]\right).

Folosind expansiunea seriei, se poate construi o continuare analitică a integralelor Fresnel pe întregul plan complex. Integrale complexe Fresnel sunt exprimate în termenii funcției de eroare ca

S(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\, x)+{\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

C(x)={\frac {\sqrt {\pi }}{4}}\left({\sqrt {-i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {i}}\ ,x)+{\sqrt {i}}\,\mathrm {erf} ({\sqrt {-i}}\,x)\right)

Integrale Fresnel nu sunt exprimate în termeni de funcții elementare decât în cazuri speciale. Limita acestor funcții la este egală cu $x\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }\cos t^{2}\,dt=\int \limits _{0}^{\infty }\sin t^{2}\,dt ={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}.

Calcul

Limitele funcțiilor C și S pot fi găsite folosind integrarea conturului. Pentru a face acest lucru, luăm integrala de contur a funcției $x\rightarrow \infty$

e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}

de-a lungul limitei sectorului pe planul complex format din axa x, raza și cercul cu raza R centrat la origine. $y=x$ $x \geqslant 0$

La , integrala de-a lungul arcului tinde spre 0, integrala de-a lungul axei reale tinde spre valoarea integralei Poisson $R\rightarrow \infty$

\int \limits _{0}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{2 }}},

iar, după unele transformări, integrala de-a lungul razei rămase poate fi exprimată în termeni de valoare limită a integralei Fresnel.

Vezi și

Note

Milton Abramowitz și Irene A. Stegun, eds. Manual de funcții matematice cu formule, grafice și tabele matematice. - New York: Dover, 1972. (Vezi partea 7) (ing.)

↑ Ecuațiile 7.3.1 - 7.3.2

Link -uri

Weisstein, Eric W. Fresnel Integrals (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld . (Engleză)
Weisstein, Eric W. Cornu Spiral (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld . (Engleză)
R. Nave, Spirala Cornu , Hyperphysics (2002) (Folosește πt²/2 în loc de t². )
Forme de buclă pentru Roller Coaster (link indisponibil) . Preluat la 13 august 2008. Arhivat din original la 4 martie 2006. (nedefinit) (engleză).