Difracția Fresnel

Difracția Fresnel este un model de difracție , care este observat la o distanță mică de un obstacol, în condițiile în care limitele ecranului au contribuția principală la modelul de interferență .

Difracția Fresnel : $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\geqslant 1$
Difracția Fraunhofer : $F={\frac {\rho ^{2}}{z\lambda }}\ll 1$

Figura prezintă schematic (stânga) un ecran opac cu o gaură rotundă ( deschidere ), în stânga căruia se află o sursă de lumină . Imaginea este fixată pe alt ecran - în dreapta. Din cauza difracției, lumina care trece prin gaură diverge, astfel încât zona care a fost întunecată conform legilor opticii geometrice va fi parțial iluminată . În zona care ar fi iluminată cu propagare rectilinie a luminii se observă fluctuații ale intensității iluminării sub formă de inele concentrice.

Modelul de difracție pentru difracția Fresnel depinde de distanța dintre ecrane și de locația surselor de lumină. Se poate calcula presupunând că fiecare punct de la marginea deschiderii emite o undă sferică conform principiului Huygens . În punctele de observare de pe al doilea ecran, undele fie se întăresc reciproc, fie se anulează în funcție de diferența de cale .

Fresnel integral

În teoria scalară a difracției, distribuția câmpului electric al luminii difractoare în punctul (x, y, z) este dată de expresia Rayleigh-Sommerfeld:

E(x,y,z)=-{i \over \lambda }\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}{E(x',y',0){\frac { e^{{ikr}}}{r}}\cos \theta }dx'dy'

unde , este unitatea imaginară a lui , și este cosinusul unghiului dintre direcțiile z și r . În formă analitică, această integrală poate fi reprezentată numai pentru cele mai simple geometrii de găuri; prin urmare, este de obicei calculată prin metode numerice. $r={\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+z^{2))}$ $i$ $\cos \theta ={\frac {z}{r))$

Fresnel Aproximation

Principala dificultate în calcularea integralei este expresia pentru r . În primul rând, simplificăm calculele făcând o modificare a variabilelor:

\rho ^{2}=(xx')^{2}+(yy')^{2)

Înlocuind această expresie cu r , găsim:

r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}

Folosim expansiunea seriei Taylor

{\sqrt {1+u}}=(1+u)^{{1/2}}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8} }+\cdots

și exprimă r ca

r=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z ^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \ dreapta]=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots

Dacă luăm în considerare toți termenii expansiunii, aceasta va fi expresia exactă [1] . Inlocuim aceasta expresie in argumentul functiei exponentiale sub integrala; rolul cheie în aproximarea Fresnel este jucat de neglijarea celui de-al treilea termen în expansiune, care se presupune că este mic. Pentru ca acest lucru să fie posibil, trebuie să aibă un efect redus asupra exponentului. Cu alte cuvinte, trebuie să fie mult mai mică decât perioada exponentului, adică : $2\pi$

k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .

Exprimând k în termeni de lungime de undă,

k={2\pi \over \lambda }

obținem următorul raport:

{\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8

Înmulțind ambele părți cu , obținem $z/\lambda$

{\frac {\rho ^{4}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }

sau, înlocuind expresia obținută anterior cu ρ 2 ,

{\frac {[(xx')^{2}+(yy')^{2}]^{2}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \ lambda }

Dacă această condiție este îndeplinită pentru toate valorile lui x , x' , y și y' , atunci putem neglija al treilea termen din expansiunea Taylor. În plus, dacă al treilea termen este mic, atunci toți termenii ulterioare de ordine superioară sunt, de asemenea, mici și pot fi neglijați. Apoi expresia poate fi aproximată folosind doi termeni de expansiune:

r\aproximativ z+{\frac {(xx')^{2}+(yy')^{2}}{2z}}

Această expresie se numește aproximație Fresnel , iar inegalitatea obținută mai devreme este condiția pentru aplicabilitatea acestei aproximări.

Difracția Fresnel

Condiția de aplicabilitate este destul de slabă și ne permite să luăm toate dimensiunile caracteristice ca valori comparabile dacă deschiderea este mult mai mică decât lungimea căii. În plus, deoarece ne interesează doar o zonă mică în apropierea sursei, x și y sunt mult mai mici decât z , să presupunem că înseamnă , iar r în numitor poate fi aproximat prin expresia . $\theta \aproximativ 0$ $\cos \theta \aprox 1$ $r\aproxz$

Spre deosebire de difracția Fraunhofer , difracția Fresnel trebuie să țină cont de curbura frontului de undă pentru a lua în considerare în mod corespunzător fazele relative ale undelor interferente.

Câmpul electric pentru difracția Fresnel într-un punct (x,y,z) este dat astfel:

E(x,y,z)=-{i \over \lambda }{e^{{ikz}} \over z}\iint _{{-\infty }}^{{+\infty }}E(x ',y',0)e^{{{ik \over 2z}[(xx')^{2}+(yy')^{2}]}}dx'dy'

Aceasta este integrala de difracție Fresnel; înseamnă că, dacă aproximarea Fresnel este validă, câmpul de propagare este o undă care începe de la deschidere și se deplasează de-a lungul z . Integrala modulează amplitudinea și faza undei sferice. O soluție analitică a acestei expresii este posibilă numai în cazuri rare. Pentru o simplificare suplimentară valabilă doar pentru distanțe mult mai mari de la sursa de difracție, vezi difracția Fraunhofer .

Vezi și

Note

↑ Cu toate acestea, aproximarea a fost în pasul anterior, când am presupus că este un val real. În realitate, nu există o soluție reală pentru ecuația vectorială Helmholtz , doar pentru una scalară. Vezi aproximarea undelor scalare $e^{{ikr}}/r$

Literatură

Landau L. D. , Lifshits E. M. Teoria câmpului. - ediția a VII-a, revizuită. — M .: Nauka , 1988. — 512 p. - (" Fizica teoretică ", Volumul II). — ISBN 5-02-014420-7 .
Sivukhin DV Curs general de fizică. — M. . - T. IV. Optica.

Link -uri

http://www.falstad.com/diffraction/