Polinomul de interpolare Lagrange

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 25 noiembrie 2021; verificările necesită 2 modificări .

Polinomul de interpolare Lagrange este un polinom de grad minim care ia valori date la un set dat de puncte, adică rezolvă problema de interpolare .

Definiție

Să fie dată o pereche de numere unde toate sunt diferite. Este necesar să se construiască un polinom de grad cel mult , pentru care . $n+1$ $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}),$ $x_{j}$ $L(x)$ $n$ $L(x_{j})=y_{j)$

Caz general

J. L. Lagrange a propus următoarea metodă de calcul a unor astfel de polinoame:

L(x)=\sum _{i=0}^{n}y_{i}l_{i}(x),

unde polinoamele de bază sunt determinate de formula $l_{i}$

l_{i}(x)=\prod _{j=0,j\neq i}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}} }={\frac {x-x_{0}}{x_{i}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i- 1}}}\cdot {\frac {x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}}\cdots {\frac {x-x_{n}}{x_{i }-x_{n}}}

Pentru orice polinom are grad și $i=0,\ldots ,n$ $l_{i}$ $n$

l_{i}(x_{j})=\left\{{\begin{array}{rl}0,&j\neq i,\\1,&j=i.\end{array}}\right .

Aceasta implică faptul că , care este o combinație liniară de polinoame , are cel mult grad și . $L(x)$ $l_{i}(x)$ $n$ $L(x_{i})=y_{i}$

Cazul nodurilor de interpolare echidistante

Fie nodurile de interpolare să fie echidistante, adică sunt exprimate în termeni de punct de plecare și o valoare pozitivă fixă , după cum urmează: $x_{j}$ $x_{0}$ $h$

x_{j}=x_{0}+jh.

De aici rezultă că

x_{j}-x_{i}=(ji)h.

Înlocuind aceste expresii în formula polinomului de bază și eliminând semnele produsului în numărător și numitor, obținem $h$

l_{j}(x)={\prod _{i=0,\,i\neq j}^{n}{(x-x_{i}) \over (x_{j}-x_{ i})}}={\prod \limits _{i=0,\,i\neq j}^{n}(x-x_{0}-ih) \over h^{n}\prod \limits _ {i=0,\,i\neq j}^{n}(ji)}

Acum putem introduce o schimbare de variabilă

y={{x-x_{0}} \over h}

și obțineți o expresie pentru polinoamele de bază în termeni de , care este construită folosind numai aritmetica întregi : $y$

l_{j}(x)=l_{j}(x_{0}+yh)=(-1)^{nj}C_{n}^{j}{\dfrac {y(y-1) \ldots (yn)}{(yi)n!}}.

Aceste mărimi se numesc coeficienți Lagrange. Ele nu depind de sau de și, prin urmare, pot fi calculate în avans și scrise sub formă de tabele. Dezavantajul acestei abordări este complexitatea factorială a numărătorului și numitorului, care necesită utilizarea unei aritmetici lungi . $y_{0},\ldots ,y_{n}$ $h$

Restul

Dacă considerăm numerele ca fiind valorile unei funcții la noduri , atunci eroarea de interpolare a funcției printr -un polinom este egală cu $y_{0},\ldots ,y_{n}$ $f$ $x_{0},\ldots,x_{n)$ $f$ $L$

f(x)-L(x)={\dfrac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-x_{0})\ldots (x-x_{n}),

unde este un punct de mijloc între cel mai mic și cel mai mare dintre numere . Presupunând că se poate scrie $\xi$ $x_{0},\ldots,x_{n)$ $M_{n+1}=\sup _{x\in [x_{0},x_{n}]}|f^{(n+1)}(x)|$

|f(x)-L(x)|\leqslant {\dfrac {M_{n+1}}{(n+1)!}}|(x-x_{0})\ldots (x- x_{n})|.

Unicitate

Există un singur polinom de grad care nu depășește , care ia valorile date la un punct dat. $n$ $n+1$

Dovada

Să presupunem că există cel mult două polinoame diferite de grad , pentru care este adevărat că pentru perechile de numere în care toate sunt diferite, Luați în considerare polinomul . Înlocuind ( ) în el, obținem că . Astfel, polinomul are rădăcini și toate sunt diferite. Prin urmare , deoarece un polinom de grad diferit de zero are cel mult rădăcini. Prin urmare, . ■ ■ $P(x)$ $Q(x)$ $n$ $n+1$ $(x_{0},y_{0}),(x_{1},y_{1}),\ldots ,(x_{n},y_{n}),$ $x_{j}$ $P(x_{j})=Q(x_{j})=y_{j}.$ $L(x)=P(x)-Q(x)$ $x_{j}$ $0\leq j\leq n$ $L(x_{j})=P(x_{j})-Q(x_{j})=y_{j}-y_{j}=0$ $L(x)$ $n+1$ $L(x)\equiv 0$ $n$ $n$ $P(x)=Q(x)$

Această afirmație este o generalizare a faptului că există o singură linie prin oricare două puncte.

Din punct de vedere al algebrei liniare

Unicitatea polinomului de interpolare poate fi privită și din punctul de vedere al SLAE . Luați în considerare un sistem de ecuații . Este scris în mod explicit ca $P(x_{0})=y_{0},P(x_{1})=y_{1},\dots,P(x_{n})=y_{n)$

{\begin{cases}a_{0}+a_{1}x_{0}+a_{2}x_{0}^{2}+\dots +a_{n}x_{0}^{n }=y_{0},\\a_{0}+a_{1}x_{1}+a_{2}x_{1}^{2}+\dots +a_{n}x_{1}^{n }=y_{1},\\\dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots \dots ,\\a_{0}+a_{1}x_{n}+ a_{2}x_{n}^{2}+\dots +a_{n}x_{n}^{n}=y_{n}\\\end{cases}}

Poate fi rescris ca un sistem de ecuații cu un vector necunoscut : $Xa=y$ $a=(a_{0},a_{1},\dots,a_{n})$

{\begin{bmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&\dots &x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2}&\dots &x_ {1}^{n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&x_{n}&x_{n}^{2}&\dots &x_{n}^{n}\\ \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{0}\\a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y_{0}\ \y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}

Matricea într-un astfel de sistem este matricea Vandermonde și determinantul ei este . În consecință, dacă toate punctele sunt diferite, atunci matricea este nedegenerată și sistemul are o soluție unică. $X$ $\prod \limits _{i<j}(x_{i}-x_{j})$ $x_{0},x_{1},\dots ,x_{n)$

În ceea ce privește teorema chineză a restului

Conform teoremei lui Bezout, restul împărțirii la este . Astfel, întregul sistem poate fi perceput ca un sistem de comparații: $P(x)$ $(xa)$ $P(a)$

{\begin{cases}P(x)\equiv y_{0}{\pmod {x-x_{0}}},\\P(x)\equiv y_{1}{\pmod {x- x_{1}}},\\\dots ,\\P(x)\equiv y_{n}{\pmod {x-x_{n}}},\\\end{cases}}

Conform teoremei chineze a restului, un astfel de sistem are o soluție unică modulo , adică un sistem dat determină în mod unic cel mult un polinom de grad . O astfel de reprezentare a unui polinom sub formă de mulțimi de resturi peste module de monomii este similară cu reprezentarea unui număr sub formă de resturi din diviziunea în module simple în sistemul claselor de rest . În acest caz, o formulă explicită pentru polinomul Lagrange poate fi, de asemenea, obținută în conformitate cu formulele teoremei chineze : , unde și . $(x-x_{0})(x-x_{1})\dots (x-x_{n})$ $n$ ${\textstyle P(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}y_{i}M_{i}M_{i}^{-1))$ $M_{i}=\prod \limits _{j\neq i}(x-x_{j})$ $M_{i}^{-1}=\prod \limits _{j\neq i}(x-x_{j})^{-1}{\pmod {x-x_{i))}= \prod \limits _{j\neq i}(x_{i}-x_{j})^{-1}$

Exemplu

Să găsim formula de interpolare pentru a avea următoarele valori: $f(x)=\mathop {\mathrm {tg} } \nolimits (x)$

{\begin{aligned}x_{0}&=-1,5&&&&&f(x_{0})&=-14,1014\\x_{1}&=-0,75&&&&&f(x_{1})&=- 0,931596\ \x_{2}&=0&&&&&f(x_{2})&=0\\x_{3}&=0,75&&&&&f(x_{3})&=0,931596\\x_{4}&= 1,5&&&&&f(x_{4) })&=14,1014.\end{aligned}}

l_{0}(x)={x-x_{1} \over x_{0}-x_{1}}\cdot {x-x_{2} \over x_{0}-x_{2} }\cdot {x-x_{3} \over x_{0}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{0}-x_{4}}={1 \over 243} x(2x-3)(4x-3)(4x+3)

l_{1}(x)={x-x_{0} \over x_{1}-x_{0}}\cdot {x-x_{2} \over x_{1}-x_{2} }\cdot {x-x_{3} \over x_{1}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{1}-x_{4}}={}-{8 \ peste 243}x(2x-3)(2x+3)(4x-3)

l_{2}(x)={x-x_{0} \over x_{2}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{2}-x_{1} }\cdot {x-x_{3} \over x_{2}-x_{3}}\cdot {x-x_{4} \over x_{2}-x_{4}}={3 \over 243} (2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)

l_{3}(x)={x-x_{0} \over x_{3}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{3}-x_{1} }\cdot {x-x_{2} \over x_{3}-x_{2}}\cdot {x-x_{4} \over x_{3}-x_{4}}=-{8 \over 243 }x(2x-3)(2x+3)(4x+3)

l_{4}(x)={x-x_{0} \over x_{4}-x_{0}}\cdot {x-x_{1} \over x_{4}-x_{1} }\cdot {x-x_{2} \over x_{4}-x_{2}}\cdot {x-x_{3} \over x_{4}-x_{3}}={1 \over 243} x(2x+3)(4x-3)(4x+3).

obține

{\begin{aligned}L(x)&={1 \over 243}{\Big (}f(x_{0})x(2x-3)(4x-3)(4x+3)\ \&{}\qquad {}-8f(x_{1})x(2x-3)(2x+3)(4x-3)\\&{}\qquad {}+3f(x_{2})( 2x+3)(4x+3)(4x-3)(2x-3)\\&{}\qquad {}-8f(x_{3})x(2x-3)(2x+3)(4x+ 3) )\\&{}\qquad {}+f(x_{4})x(2x+3)(4x-3)(4x+3){\Big )}\\&=4,834848x^{3 }- 1,477474x.\end{aliniat}}

Aplicații

Integrare numerică

Fie cunoscute valorile funcției în anumite puncte. Apoi putem interpola această funcție prin metoda Lagrange: $f(x)$ $y_{i}=f(x_{i})$

f(x)\approx \sum _{i=0}^{n}f(x_{i})l_{i}(x).

Expresia rezultată poate fi folosită pentru a aproxima calculul integralei definite a funcției : $f$

\int \limits _{a}^{b}f(x)dx\approx \sum _{{i=0}}^{n}f(x_{i})\int \limits _{a}^{ b}l_{i}(x)dx

Valorile integralelor lui nu depind de și pot fi calculate în avans folosind secvența . $l_{i}$ $f(x)$ $x_{j}$

Literatură

Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Metode de calcul. Volumul I. - ed. a II-a, stereotip - M .: Fizmatlit . 1962.

Link -uri

M. A. Tynkevici. Capitolul 7.6.1. Polinom de interpolare Lagrange // Metode numerice de analiză . - Kemerovo, 2002. - ISBN 5-89070-042-1 . (link indisponibil)
A. G. Khovansky. Polinoamele Lagrange și aplicațiile lor . Preluare video. Şcoala de vară a VI-a „ Matematică modernă ”, Dubna, 2006.