Funcția cvasanalitică

Funcțiile cvasianalitice din analiza matematică sunt o clasă de funcții care, în mod vag, pot fi complet reconstruite din valorile lor într-o zonă mică (de exemplu, la limita unei regiuni). Această proprietate facilitează foarte mult rezolvarea ecuațiilor diferențiale și studiul altor probleme de analiză. Deoarece această proprietate este valabilă pentru funcțiile analitice (vezi analiza complexă ), atunci clasa funcțiilor cvasi-analitice conține clasa funcțiilor analitice obișnuite și poate fi considerată ca o extensie a acesteia [1] .

Definiții

Funcții cu o singură variabilă

Una dintre multele caracteristici definitorii ale unei funcții analitice : să fie funcția diferențiabilă la infinit în toate punctele segmentului și să existe un număr (în funcție de funcție) astfel încât inegalitatea să fie valabilă pentru toate punctele: $f(x)$ $[a,b]$ $A$ $x\in[a,b]$

|f^{(n)}(x)|\leqslant A^{n}n!

(unu)

Atunci funcția este analitică ( este adevărată și teorema inversă ) [2] . $f(x)$

Jacques Hadamard a propus în 1912 să generalizeze inegalitatea de mai sus prin înlocuirea secvenței cu o secvență a formei generale a numerelor reale pozitive . El a definit pe intervalul [ a , b ] clasa de funcții C M ([ a , b ]) astfel: $n!$ ${\displaystyle M=\{M_{k}\}_{k=0}^{\infty ))$

Orice funcție din clasă este infinit diferențiabilă ( f ∈ C ∞ ([ a , b ])), iar în toate punctele x ∈ [ a , b ] și pentru toate este îndeplinită următoarea condiție: $f$ $k\geqslant 0$

\left|{\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)\right|\leqslant A^{k}k!M_{k}

(2)

unde A este o constantă (în funcție de funcție).

Dacă luăm șirul M k =1, atunci, conform celor spuse la începutul secțiunii, obținem exact clasa funcțiilor analitice reale obișnuite pe intervalul [ a , b ].

Clasa C M ([ a , b ]) se numește cvasi -analitică dacă pentru orice funcție f ∈ C M ([ a , b ]) condiția de unicitate este îndeplinită : dacă la un moment dat x ∈ [ a , b ] pentru toate k , atunci f este identic egal cu zero. ${\frac {d^{k}f}{dx^{k}}}(x)=0$

Elementele unei clase cvasi-analitice se numesc funcții cvasi-analitice . Condiția de mai sus înseamnă că două funcții care coincid la un moment dat împreună cu toate derivatele lor coincid peste tot. Cu alte cuvinte, valorile unei funcții într-o zonă arbitrar de mică determină complet toate valorile acesteia.

Funcțiile mai multor variabile

Pentru o funcție și pentru un set de indici notăm: $f:\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R}$ $j=(j_{1},j_{2},\ldots,j_{n})\in \mathbb {N} ^{n)$

{\displaystyle |j|=j_{1}+j_{2}+\ldots +j_{n))

D^{j}={\frac {\partial ^{j}}{\partial x_{1}^{j_{1}}\partial x_{2}^{j_{2}}\ldots \ parțial x_{n}^{j_{n}}}}}

j!=j_{1}!j_{2}!\ldots j_{n}!

x^{j}=x_{1}^{j_{1}}x_{2}^{j_{2}}\ldots x_{n}^{j_{n}}.

Atunci se numește cvasi -analitic într-un domeniu deschis dacă pentru fiecare compact există o constantă astfel încât: $f$ $U\subset \mathbb {R} ^{n},$ $K\subset U$ $A$

\left|D^{j}f(x)\right|\leqslant A^{|j|+1}j!M_{|j|}

pentru toti indicii din multime si in toate punctele . $j\in \mathbb {N} ^{n}$ $x\în K$

Clasa de funcții cvasi-analitice ale variabilelor în raport cu o secvență dintr-o mulțime poate fi notată cu , deși există și alte notații în surse. $n$ $M$ $U$ $C_{n}^{M}(U)$

Clase cvasianalitice pentru secvențe convexe logaritmic

Să presupunem că în definiția de mai sus și succesiunea este nedescrescătoare. Se spune că această secvență este convexă logaritmic dacă este îndeplinită condiția: $M_{1}=1$ $M_{k}$

Secvența crește.

{M_{k+1} \over M_{k}}

Dacă succesiunea este convexă logaritmic, atunci: $M_{k}$

(M_{k})^{1/k)

crește de asemenea.

M_{r}M_{s}\leqslant M_{r+s}

pentru toată lumea .

(r,s)\in \mathbb {N} ^{2}

Pentru convex logaritmic , clasa cvasi-analitică este un inel . În special, este închis sub înmulțire și compunere . Acesta din urmă înseamnă: $M$ $C_{n}^{M}$

Dacă și , atunci .

f=(f_{1},f_{2},\ldots f_{p})\in (C_{n}^{M})^{p)

g\in C_{p}^{M}

g\circ f\in C_{n}^{M}

Teorema Denjoy-Carleman

Teorema Denjoy-Carleman a fost formulată și parțial rezolvată de Arnaud Denjoy ( Denjoy (1921 )) și complet demonstrată de Thorsten Carleman ( Carleman (1926 )). Această teoremă oferă un criteriu pentru a decide sub ce secvențe M funcțiile C M ([ a , b ]) formează o clasă cvasi-analitică.

Conform teoremei, următoarele afirmații sunt echivalente:

C M ([ a , b ]) este o clasă cvasi-analitică.
$\sum 1/L_{j}=\infty ,$ unde . $L_{j}=\inf _{k\geq j}(k\cdot M_{k}^{1/k})$
$\sum _{j}(jM_{j}^{*})^{-1/j}=\infty ,$ unde M j * este cea mai mare succesiune logaritmică convexă mărginită mai sus de M j .
$\sum _{j}{\frac {M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_{j}^{*}}}=\infty .$

Pentru a demonstra că enunțurile 3, 4 sunt echivalente cu a 2-a, se folosește inegalitatea lui Carleman .

Exemplu : Denjoy (1921 ) [3] a subliniat că, dacă i se oferă una dintre secvențele $M_{n}$

1,\,{(\ln n)}^{n},\,{(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n},\, {(\ln n)}^{n}\,{(\ln \ln n)}^{n}\,{(\ln \ln \ln n)}^{n},\dots ,

atunci clasa corespunzătoare este cvasi-analitică. Prima secvență (de unități) oferă funcțiile analitice obișnuite.

Proprietăți suplimentare

Pentru o secvență convexă logaritmic , sunt valabile următoarele proprietăți ale clasei corespunzătoare de funcții. $M$

$C^{M}$ coincide cu clasa funcţiilor analitice dacă şi numai dacă . $\sup _{j\geq 1}(M_{j})^{1/j}<\infty$
Dacă este o altă secvență convexă logaritmic pentru care (aici este o constantă), atunci . $N$ $M_{j}\leqslant C^{j}N_{j)$ $C$ $C^{M}\subset C^{N}$
$C^{M}$ stabil în raport cu diferenţierea dacă şi numai dacă . $\sup _{j\geq 1}(M_{j+1}/M_{j})^{1/j}<\infty$
Pentru orice funcție infinit diferențiabilă , se pot găsi inele cvasi-analitice și și elemente astfel încât . $f$ $C^{M}$ $C^{N}$ $g\in C^{M},h\in C^{N}$ $f=g+h$

Diviziunea conform Weierstrass

Definiție . Se spune că o funcție este de ordine regulată în raport cu dacă și . $g:\mathbb {R} ^{n}\la \mathbb {R}$ $d$ $x_{n}$ $g(0,x_{n})=h(x_{n})x_{n}^{d)$ $h(0)\neq 0$

Fie o funcție de ordin obișnuit cu privire la . Se spune că un inel de funcții reale sau complexe ale variabilelor satisface diviziunea Weierstrass în raport cu dacă pentru fiecare există și astfel încât: $g$ $d$ $x_{n}$ $Un}$ $n$ $g$ $f\in A_{n}$ $q\in A$ $h_{1},h_{2},\ldots,h_{d-1}\în A_{n-1)$

f=gq+h

, unde .

h(x',x_{n})=\sum _{j=0}^{d-1}h_{j}(x')x_{n}^{j}

Exemplu : Inelul funcțiilor analitice și inelul seriei de puteri formale satisfac ambele proprietatea diviziunii Weierstrass. Dacă, totuși, este logaritmic convex și nu coincide cu clasa funcțiilor analitice, atunci nu satisface proprietatea diviziunii Weierstrass în raport cu . $M$ $C^{M}$ $C^{M}$ $g(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})=x_{1}+x_{2}^{2)$

Istorie

Problema cheie a acestui subiect este capacitatea unei funcții analitice de a-și restabili în mod unic „aspectul global” din valorile funcției în sine și ale derivatelor sale la un punct regulat arbitrar [4] . Émile Borel a fost primul care a descoperit că această proprietate este valabilă nu numai pentru funcțiile analitice.

În 1912, Jacques Hadamard a formulat întrebarea: care ar trebui să fie secvența pentru ca „ condiția de unicitate ” de mai sus să fie valabilă pentru orice pereche de funcții din clasa corespunzătoare. Arnaud Denjoy a dat în 1921 condiții suficiente pentru cvasi-analiticitate și o serie de exemple de clase cvasi-analitice (vezi Denjoy (1921 )). O soluție completă a problemei a fost dată cinci ani mai târziu de Thorsten Carleman (vezi Carleman (1926 )), care a stabilit condițiile necesare și suficiente pentru cvasi-analiticitate [1] . $M_{n},$

Mai târziu, S. N. Bernshtein și S. Mandelbroit au generalizat conceptul de cvasi-analiticitate la clase de funcții nediferențiabile și chiar discontinue. Cel mai simplu exemplu este setul de soluții ale unei ecuații diferențiale liniare cu coeficienți continui; funcțiile incluse în această soluție, în general, nu au un număr infinit de derivate [5] ..

Note

↑ 1 2 Enciclopedia matematică, 1979 , p. 798.
↑ Mandelbroit, 1937 , p. 10-12.
↑ Leontiev, 2001 .
↑ Mandelbroit, 1937 , p. 9-11.
↑ Gorny, 1938 , p. 171.

Literatură

Gorny A. Funcții cvasi-analitice // Advances in Mathematical Sciences . - M. , 1938. - Nr. 5 . — S. 171–186 .
Leontiev A.F. Clasă cvasiananalitică de funcții // Enciclopedie matematică (în 5 volume). - M .: Enciclopedia Sovietică , 1979. - T. 2. - S. 798-800.
Mandelbroit S. Clase cvasianalitice de funcţii. - M. - L .: ONTI NKTP, 1937.
Mandelbroit S. Serii alăturate, regularizarea secvențelor. Aplicații, trad. din franceză, Moscova: Literatură străină, 1955.
Carleman, T. (1926), Les fonctions quasi-analytiques , Gauthier-Villars (fr.)
Denjoy, A. (1921), Sur les fonctions quasi-analytiques de variable réelle, CR Acad. sci. Paris T. 173: 1329–1331
Hörmander, Lars (1990), The Analysis of Linear Partial Differential Operators I , Springer-Verlag, ISBN 3-540-00662-1
Leont'ev, A.F. Clasa cvasi-analitică // Hazewinkel, Michiel . Enciclopedia de matematică. - Springer Science+Business Media BV / Kluwer Academic Publishers, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .

Link -uri

Cohen, Paul J. (1968), O dovadă simplă a teoremei Denjoy-Carleman , The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) . — T. 75 (1): 26–31, ISSN 0002-9890 , DOI 10.2307/2315100