Cvasi-izometrie

Cvasiizometria este o generalizare a conceptului de izometrie pe spații metrice , ignorând abaterile finite, atât absolute, cât și relative. Această noțiune este deosebit de importantă în teoria grupurilor geometrice . Introdus de Mihail Gromov .

Definiție

O mapare (nu neapărat continuă) de la un spațiu metric la altul se numește cvasiizometrie dacă există constante și astfel încât următoarele două proprietăți sunt îndeplinite: $f\coloan X\la Y$ $A\geq 1$ $B\ge 0$ $C\geq 0$

Pentru oricare două puncte , $x,x'\in X$ ${\tfrac {1}{A}}\cdot |xx|_{X}-B\leq |f(x)-f(x')|_{Y}\leq A\cdot |xx' |_{X}+B.$
Pentru orice punct, există un punct astfel încât $y\în Y$ $x\în X$ $|f(x)-y|_{Y}\leq C.$

Definiții înrudite

O mapare care satisface doar prima condiție se numește încorporare cvasiizometrică .

Spațiile între care există o cvasiizometrie se numesc cvasiizometrice .

Aplicații în teoria grupurilor

Fie un set generator finit al grupului . Luați în considerare graficul Cayley corespunzător . Acest grafic devine un spațiu metric dacă declarăm că lungimea fiecărei muchii este 1. $S$ $G$

Pentru un set generator diferit , această construcție oferă un alt spațiu metric diferit, dar cele două spații rezultate sunt cvasiizometrice. [1] Astfel, clasa cvasiizometrică a acestui spațiu este un invariant al grupului . Adică nu depinde de alegerea grupului electrogen. $S'$ $G$

Proprietăți

Orice grup este cvasiizometric față de oricare dintre subgrupurile sale de indice finit.
Orice grup este cvasiizometric față de oricare dintre grupurile sale de factori în raport cu un subgrup normal finit.

Link -uri

↑ R.B. Sher și R.J. Daverman (2002), Handbook of Geometric Topology , North-Holland.

Literatură

Gromov M. Grupuri hiperbolice. - Izhevsk: Institutul de Cercetare Informatică, 2002. - 160 p. — ISBN 5-93972-103-6 .