Cuantificator

Un cuantificator  este un nume general pentru operațiile logice care limitează sfera adevărului unui predicat și creează o declarație . Cel mai des menționat:

• Cuantificator universal (desemnarea:, se citește: „pentru orice...”, „pentru fiecare...”, „pentru toți...” sau „fiecare...”, „oricare...”, „toți... ").
• Cuantificator de existență (desemnare:, citiți: „există...” sau „există...”).

În logica matematică, atribuirea unui cuantificator unei formule se numește legare sau cuantificare .

În logica cu mai multe valori sunt introduse și alți cuantificatori, de exemplu, cuantificatorul pluralității (cuantificatorul Rescher) (notat cu un M inversat , citiți „pentru majoritatea ...”).

Exemple

Notați predicatul „ x este divizibil cu 9”. Folosind cuantificatorul universal , se pot scrie formal următoarele afirmații (desigur, false):

1. orice număr natural este multiplu al lui 9;
2. fiecare număr natural este un multiplu al lui 9;
3. toate numerele naturale sunt multipli ai lui 9;

in felul urmator:

Următoarele afirmații (deja adevărate) folosesc cuantificatorul existențial :

1. există numere naturale care sunt multipli ai lui 9;
2. există un număr natural care este multiplu al lui 9;
3. cel puțin un număr natural este un multiplu al lui 9.

Notația lor formală este:

Introducere în concept

Fie predicatul : „Un număr prim este impar” să fie dat pe mulțimea numerelor prime. Înlocuiți cuvântul „oricare” înaintea acestui predicat. Obținem afirmația falsă „orice număr prim este impar” (această afirmație este falsă, deoarece 2 este un număr prim par).

Înlocuind cuvântul „există” înaintea acestui predicat , obținem afirmația adevărată „Există un număr prim care este impar” (de exemplu, ).

Astfel, este posibil să transformăm un predicat într-un enunț punând înaintea predicatului cuvintele („totul”, „există” și altele), care se numesc cuantificatori în logică.

Cuantificatori în logica matematică

• Declarația înseamnă că intervalul variabilei este inclus în intervalul de adevăr al predicatului .

("Pentru toate valorile , afirmația este adevărată").

• Afirmația înseamnă că regiunea de adevăr a predicatului nu este goală.

(„Există sub care afirmația este adevărată”).

Variabile libere și legate

Mulțimea variabilelor libere* ale formulei F este definită recursiv, după cum urmează:

Variabile libere.

• Toate variabilele incluse într-o formulă atomică sunt variabile libere ale acestei formule,
• variabilele libere ale formulei F sunt variabilele libere ale formulei ¬F,
• variabilele care sunt libere pentru cel puțin una dintre formulele F sau G sunt variabile libere ale formulei (F D G),
• toate variabilele libere cu formula F, cu excepția v, sunt variabile libere cu formula Kv F.

formulă închisă.

• O formulă fără variabile libere se numește formulă închisă sau propoziție.

Variabila asociata.

• Variabila v este legată într-o formulă F dacă F conține o apariție a lui Kv, unde K este un cuantificator.

Redenumire legată, redenumire gratuită

Operații asupra cuantificatoarelor

Regula negației cuantificatorului  este utilizată pentru a construi negații ale declarațiilor care conțin cuantificatori și are forma:

Istoricul aspectului

Filosofii au acordat de multă atenție operațiilor logice care limitează sfera adevărului unui predicat, dar nu le-au identificat ca o clasă separată de operații. Deci, Thomas Hobbes credea că acestea sunt părți ale numelor [1] .

Deși construcțiile cuantificatoare-logice sunt utilizate pe scară largă atât în ​​vorbirea științifică, cât și în vorbirea de zi cu zi, formalizarea lor a avut loc abia în 1879  , în cartea lui Frege „Calculul conceptelor”. Notația lui Frege arăta ca niște construcții grafice greoaie și nu a fost acceptată. Ulterior, au fost propuse mult mai multe simboluri de succes, dar notația pentru cuantificatorul de existență (prima literă inversată a englezei Există  - există), propusă de Charles Pierce în 1885  , și pentru cuantificatorul general ( germană: Alle ).    - „totul”, „toată lumea”), format de Gerhard Gentzen în 1935  prin analogie cu simbolul cuantificatorului existențial. Termenii „cuantificator”, „cuantificare” au fost propuși și de Peirce.

Note

1. ↑ „Dar cuvintele: orice, orice, unele etc., care indică sensul general sau particular al altor cuvinte, nu sunt nume, ci doar părți ale numelor”. (Thomas Hobbes „Despre corp”)

Literatură

• Kleene S. K. Introducere în metamatematică, trad. din engleză, M., 1957, p. 72-80, 130-138
• Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Logica matematică. Ed. al treilea, stereotip. — M.: KomKniga, 2006. — 240 p.
• Novikov PS Elemente de logică matematică. — M.: Nauka, 1973. — 400 p.
• Biserica A. Introducere în logica matematică, trad. din engleză, vol. 1, M., 1960, p. 42-48.

Link -uri

• cuantificatori

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare catalană Rusă mare Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	BNF : 11931538s GND : 4128275-9 J9U : 987007536007505171 LCCN : sh85056323