Încheiați extensia

O extensie finită este o extensie a unui câmp astfel încât să aibă dimensiuni finite ca spațiu vectorial . Dimensiunea unui spațiu vectorial peste se numește grad de extensie și se notează cu . $E\ supărat K$ $E$ $K$ $E$ $K$ $[E:K]$

Încheiați proprietățile extensiei

Extensia finită este întotdeauna algebrică . Într-adevăr, fie , deoarece pentru orice element mulțimea de elemente nu poate fi liniar independentă, atunci există un polinom peste grad nu mai mare decât , astfel încât este rădăcina lui. $[E:K]=n$ $\alpha \in E$ $n+1$ $1,\alpha ,\alpha ^{2},...\alpha ^{n}$ $K$ $n$ $\alfa$

O extensie algebrică simplă este finită. Dacă un polinom ireductibil peste are gradul , atunci . $E=K(\alpha )$ $\alfa$ $K$ $n$ $[E:K]=n$

Într -un turn de câmpuri , un câmp este finit peste dacă și numai dacă este finit peste și finit peste . Acest lucru decurge cu ușurință din proprietățile de bază ale spațiilor vectoriale. În acest caz, dacă este o bază peste și este o bază peste , atunci este o bază peste , prin urmare . $F\supset E\supset K$ $F$ $K$ $F$ $E$ $E$ $K$ $e_{1},...e_{n}$ $E$ $K$ $f_{1},...f_{m}$ $F$ $E$ $f_{1}e_{1},f_{1}e_{2},...f_{1}e_{n},f_{2}e_{1},...f_{m}e_{1} ,...f_{m}e_{n}$ $F$ $K$ $[F:E][E:K]=[F:K]$

O extensie E finită este generată finit . Putem lua elemente de orice bază ca elemente generatoare . În schimb, orice extensie algebrică generată finit este finită. Într-adevăr, . Elementele fiind peste algebrice rămân astfel peste un câmp mai mare . În continuare, aplicăm teoremele privind finitatea extensiilor algebrice simple și turnul de extensii finite. $E=K(e_{1},...e_{n})$ $K(\alpha _{1},\alpha _{2},...\alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})...(\alpha _{n})$ $\alpha_i$ $K$ $K(\alpha _{1})...(\alpha _{{i-1}})$

Dacă , desigur, atunci pentru orice extensie, atunci (dacă și sunt conținute într-un anumit câmp) compusul de câmpuri este o extensie finită ). $E\ supărat K$ $F\ supărat K$ $F$ $E$ $EF$ $F$

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebra - M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Algebra comutativă v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra - M:, Mir, 1967