Extensie generată finit

O extensie de câmp generată finit $K$ este o extensie a câmpului astfel încât să existe elemente astfel încât . Elementele sunt fracții algebrice , unde și sunt polinoame. Dacă , atunci extensia se numește simplă. $E$ $K$ $E$ $\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n)$ $E=K(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})$ $E$ ${\frac {f(\alpha _{1},\dots,\alpha _{n})}{g(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n))))}$ $f$ $g$ $n=1$ $K(\alpha )$

Proprietatea extensiilor generate finit

Dacă o extensie generată finit este algebrică peste , atunci este finită . $E=K(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{n})$ $K$

Pentru o extensie algebrică simplă, aceasta rezultă din faptul că mulțimea de valori ale polinoamelor din este nu numai un inel , ci și un câmp. Într-adevăr, să . Atunci polinomul nu este divizibil cu — polinomul minim peste . Dar este un polinom ireductibil și , prin urmare, coprim. Aceasta înseamnă că există polinoame peste și astfel încât . Înlocuind în această egalitate avem , adică este inversabil și este câmpul dorit . În același mod, împărțind la , obținem că dacă are un grad , atunci $E=K(\alpha )$ $\alfa$ $K[\alpha ]$ $g(\alpha )\neq 0$ $g(x)$ $p(x)$ $\alfa$ $K$ $p(x)$ $g(x)$ $p(x)$ $topor)$ $b(x)$ $K$ $a(x)p(x)+b(x)g(x)=1$ $\alfa$ $b(\alpha )g(\alpha )=1$ $g(\alpha)$ $K[\alpha ]$ $K(\alpha )$ $f(x)$ $p(x)$ $p(x)$ $n$ $[E:K]=n$

Pentru o extensie din mai multe elemente avem: . Elementele fiind peste algebrice rămân astfel peste un câmp mare . Apoi, aplicăm teorema pe turnul de extensii finite. $K(\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots \alpha _{n})=K(\alpha _{1})(\alpha _{2})\ldots (\ alfa _{n})$ $\alpha_i$ $K$ $K(\alpha _{1})\ldots (\alpha _{i-1})$

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebra -M:, Nauka, 1975
Zarissky O., Samuel P. Algebra comutativă v.1 - M:, IL, 1963
Leng S. Algebra -M:, Mir, 1967

Extensie generată finit

Proprietatea extensiilor generate finit

Literatură

Vezi și