Constanta lui Cheeger

Constanta izoperimetrică Cheeger a unei varietăți riemanniene compacte M este un număr real pozitiv h ( M ) definit în termeni de suprafață minimă , care împarte M în două părți neintersectate de volum egal . În 1970, Jeff Cheeger a demonstrat o inegalitate care leagă prima valoare proprie netrivială a operatorului Laplace-Beltrami de pe M cu numărul h ( M ). Această dovadă a avut un impact major asupra geometriei riemanniene și a contribuit la un concept similar în teoria grafurilor .

Definiție

Fie M  o varietate Riemanniană închisă n - dimensională . Notăm cu V ( A ) volumul unei subvariete arbitrare n -dimensionale A ; prin S ( E ) notăm n − volumul unidimensional al subvarietății E (de obicei în acest context se numește „zonă”). Apoi constanta Cheeger izoperimetrică a varietatii M este definită ca

unde infimul este preluat de toate subvarietățile netede n − 1-dimensionale E ale lui M care o împart în două subvarietăți disjunse A și B . Constanta izoperimetrică poate fi definită și pentru varietăți riemanniene necompacte de volum finit.

Inegalitatea lui Cheeger

Constanta lui Cheeger h ( M ) și cea mai mică valoare proprie pozitivă a operatorului Laplace sunt legate de următoarea inegalitate fundamentală demonstrată de Cheeger:

Această inegalitate este optimă în următorul sens: pentru orice h > 0, număr natural k și ε > 0, există o varietate riemanniană bidimensională M cu constantă izoperimetrică h ( M ) = h și astfel încât k - a valoare proprie a Operatorul Laplace se află la o distanță de cel mult ε de limita Cheeger (Boozer, 1978).

Inegalitatea lui Boozer

Peter Boozer a găsit o expresie pentru limita superioară în termenii constantei izoperimetrice h ( M ). Fie M  o varietate riemanniană închisă n - dimensională a cărei curbură Ricci este mărginită mai sus de numărul −( n −1) a 2 , unde a ≥ 0.

Apoi

Vezi și

Link -uri