Hipersuprafață

O hipersuprafață este o generalizare a noțiunii de suprafață a unui spațiu tridimensional pentru un spațiu n-dimensional; este o varietate de dimensiune n care este încorporată într-un spațiu euclidian cu o dimensiune mai mare . $n+1$

Hipersuprafața ca obiect joacă un rol important în geometria diferențială; multe teoreme importante ale analizei matematice pot fi reformulate cu ușurință folosind hipersuprafețe (de exemplu, formula Stokes și cazurile sale particulare).

Hipersuprafața este subiectul cel mai frecvent al fasciculelor spațiale.

Un exemplu este stratificarea spațiului de configurare (spațiul tuturor stărilor posibile ale sistemului) în funcție de valoarea energetică. Acest caz special se numește un pachet unidimensional de spațiu (deoarece putem atribui fiecărei suprafețe un număr real - energie).

Operatorii diferenţiali ( rotor , etc.) sunt de asemenea formulaţi în termeni de hipersuprafeţe. Având în vedere, de exemplu, curgerea unui câmp vectorial printr-o suprafață (este și o suprafață) în spațiu tridimensional, obținem o anumită caracteristică a acestui câmp, care poate fi vizualizată.

În cazul multidimensional se pierde vizibilitatea conceptului de „flux de câmp vectorial”; cu toate acestea, toate proprietățile de bază ale unei hipersuprafețe sunt păstrate ( teorema Ostrogradsky-Gauss ).

Datorită prezenței unor proprietăți care sunt la fel de inerente tuturor suprafețelor ( teorema lui Stokes ), o hipersuprafață se distinge într-un obiect separat.

Vector normal unitar

Fie hipersuprafața dată de ecuații parametrice:

(1)\qquad {\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})

Vom considera peste tot în acest caz funcțiile (1) ca fiind suficient de netede (derivate secunde continue), cu un tensor metric nedegenerat . Vectorii de coordonate într-un punct al varietatii definesc un subspațiu afin , un hiperplan tangent la varietate. Complementul ortogonal la hiperplan este linia care trece prin punctul dat al varietății și perpendiculară pe acesta. Alegem (una dintre cele două posibile) direcția acestei linii și punem vectorul unitar pe linie . Într-un punct învecinat (aproape de punctul ) al varietății, linia ortogonală va fi aproape în direcția liniei , astfel încât proiecția vectorului pe definește deja în mod unic o direcție pozitivă pe linie . Lăsați deoparte în această direcție pozitivă vectorul unitar direct . Astfel, trecând de la un punct al varietății la altul într-o regiune a varietății, obținem o funcție vectorială: $g_{{ij}}=({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})$ ${\mathbf {r}}_{i}={\partial {\mathbf {r}} \over \partial u^{i}}$ $P$ $L$ $\mathbf {n}$ $P$ $P'$ $L'$ $L$ $L'$ $L'$ $L'$ ${\mathbf {n))'$

(2)\qquad {\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(P)={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n })

Această funcție va fi continuă (deoarece hipersuprafața (1) este netedă, fără puncte singulare). Să încercăm să extindem funcția la întreaga varietate . Acest lucru se poate face în cazul în care, deplasându-ne de-a lungul oricărui contur închis care se află în hipersuprafață, plecând de la un punct și calculând vectorul normal prin continuitate, ne vom întoarce la un punct cu aceeași direcție a vectorului normal. O astfel de suprafață se numește bilaterală sau indicativă . Dar există și astfel de hipersuprafețe când, ocolind un contur închis, vom reveni la un punct cu vectorul normal opus. Astfel de suprafețe sunt numite unilaterale sau neorientabile . Exemple de hipersuprafețe unilaterale sunt banda Möbius și sticla Klein . $P$ $P$ $P$

De la ortogonalitatea vectorului normal la vectorii de coordonate ai hipersuprafeței, avem ecuația:

(3)\qquad ({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{i})=0

iar lungimea unității a vectorului normal este descrisă de ecuația:

(4)\qquad {\mathbf {n}}^{2}=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}})=1

Tensor de curbură totală

Din expresie

(5)\qquad {\mathbf {r}}_{{ij}}=\Gamma _{{ij}}^{k}{\mathbf {r}}_{k}+{\mathbf {b}} _{{ij}}

și faptul că există o singură direcție ortogonală cu vectorii , rezultă că toți vectorii sunt coliniari cu vectorul , i.e. putem scrie: $\mathbf {n}$ ${\mathbf {r}}_{i}$ $\mathbf {n}$

(6)\qquad {\mathbf {b}}_{{ij}}={\mathbf {n}}b_{{ij}}

Numerele sunt proiecții ale vectorilor pe vectorul normal și, prin urmare, pot fi atât pozitive, cât și negative. Conform formulei (6), curbura tuturor liniilor geodezice care trec printr-un punct fix al varietatii este paralelă cu vectorul (centrele de curbură se află pe o linie dreaptă ortogonală cu varietatea): $b_{{ij}}$ ${\mathbf {b}}_{{ij}}$ $\mathbf {n}$ $P$ $\mathbf {n}$

(7)\qquad {\mathbf {k}}={\mathbf {b}}_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}b_{{ij }}\tau ^{i}\tau ^{j}={\mathbf {n}}k

(7a)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{i}\tau ^{j}

Vectori normali derivați

Diferențierea față de coordonatele varietății cu formula (4) dă:

(8)\qquad {\partial \over \partial u^{i}}{\mathbf {n}}^{2}=2({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {n}}_{ i})=0

adică, derivatele vectorului normal unitar sunt ortogonale cu vectorul normal însuși și, prin urmare, sunt tangente la varietatea hiperplană. Putem extinde vectorul în termeni de vectori de bază ai spațiului tangent: ${\mathbf {n}}_{i}={\partial {\mathbf {n}} \over \partial u^{i}}$ $\mathbf {n}$ ${\mathbf {n}}_{i}$

(9)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=\alpha _{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Să găsim coeficienții de expansiune . Pentru a face acest lucru, înmulțim scalar părțile din stânga și din dreapta ale formulei (9) cu vectorul . Pentru partea stângă avem: $\alpha _{i}^{j}$ ${\mathbf {r}}_{k}$

(10)\qquad ({\mathbf {n}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\partial _{i}({\mathbf {n}}\cdot {\ mathbf {r}}_{k})-({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {r}}_{{ik}})=-b_{{ik}}

Și pentru cel potrivit:

(11)\qquad \alpha _{i}^{j}({\mathbf {r}}_{j}\cdot {\mathbf {r}}_{k})=\alpha _{i}^{ j}g_{{jk}}=\alpha _{{ik}}

Din formulele (9-11) obținem următoarea formulă de calcul a derivatelor vectorului normal unitar în termeni de tensor de curbură totală:

(12)\qquad {\mathbf {n}}_{i}=-b_{i}^{j}{\mathbf {r}}_{j}

Rețineți că vectorul este ortogonal cu coordonatele de pe varietate și, prin urmare, derivata sa covariantă este aceeași cu derivata parțială (similar cu gradientul unui scalar): $\mathbf {n}$

(13)\qquad \nabla _{i}{\mathbf {n}}=\partial _{i}{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}

Pentru o linie geodezică , pe care o vom considera drept o linie curbă într-un spațiu euclidian înglobat (n + 1)-dimensional, vectorul normal de hipersuprafață va coincide cu vectorul normal principal al curbei dacă numărul din formula (7a) este pozitiv , sau va fi vectorul opus (dacă <0). Să găsim torsiunea geodezicei : $\mathbf {n}$ $k$ $k$ ${\boldsymbol {\varkappa }}$

(14)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}=-k{\boldsymbol {\tau }}+{\boldsymbol {\varkappa }}

(15)\qquad {d{\mathbf {n}} \over ds}={\mathbf {n}}_{i}{du^{i} \over ds}={\mathbf {n}}_{ i}\tau ^{i}=-b_{j}^{i}\tau ^{j}{\mathbf {r}}_{i}

(16)\qquad {\boldsymbol {\varkappa }}={d{\mathbf {n}} \over ds}+k{\boldsymbol {\tau }}=(-b_{j}^{i}\tau ^{j}+k\tau ^{i}){\mathbf {r}}_{i}

Din formula (16) vedem că torsiunea dreptei geodezice va fi zero dacă vectorul tangentei și este un vector propriu al matricei : $\tau ^{i}$ $b_{j}^{i}$

(17)\qquad b_{j}^{i}\tau ^{j}=k\tau ^{i}

Curbururile și direcțiile principale ale unei hipersuprafețe

Tensorul simetric la o tangentă într-un punct la o suprafață de spațiu vectorial definește o transformare liniară: $b_{{ij}}$ $P$

(18)\qquad y_{i}=b_{i}^{j}x_{j}

și putem pune problema pe valorile proprii și vectorii acestei transformări. Mai întâi, să trecem la un sistem de coordonate care va fi cartezian dreptunghiular în punctul . Deoarece tensorul metric este unitate în acest punct ( ), atunci coordonatele covariante și contravariante ale tensorului vor fi aceleași, deci transformarea (18) este efectuată de o matrice simetrică . După cum se știe din teoria matricelor, o matrice simetrică are vectori proprii reciproc ortogonali (de asemenea, îi putem considera unitate), iar toate valorile proprii corespunzătoare acestora sunt numere reale (care pot fi atât pozitive, cât și negative). În sistemul de coordonate ales avem: $P$ $g_{ij}=\delta _{ij}$ $b_{{ij}}$ $b_{i}^{j}$ $n$ ${\boldsymbol {\tau }}^{{(s)))),\;s=1,2,\dots n$ $k^{{(e)}}$

(19)\qquad b_{i}^{j}\tau _{j}^{{(s)}}=k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(s)} }

(20)\qquad \sum _{i}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{i}^{{(p)))=({\boldsymbol {\tau }}^ {{(s)}}\cdot {\boldsymbol {\tau }}^{{(p))))=\delta ^{{sp}}={\begin{cases}1,&s=p\\0 ,&s\neq p\end{cazuri}}

Formula (19) are un caracter tensor și, prin urmare, este valabilă în orice sistem de coordonate, iar ortogonalitatea vectorilor proprii (20) poate fi scrisă și în orice sistem de coordonate prin tensorul metric:

(21)\qquad g^{{ij}}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{j}^{{(p)}}=g_{{ij}}\tau ^ {{(s)i}}\tau ^{{(p)j}}=\delta ^{{sp}}

Folosind formula (7a), putem găsi curbura unei linii geodezice trasate paralel cu unul dintre vectorii proprii : ${\boldsymbol {\tau }}^{{(e)))$

(22)\qquad k=b_{{ij}}\tau ^{{(s)i}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}\tau _{j }^{{(s)}}\tau ^{{(s)j}}=k^{{(s)}}

Valorile proprii se numesc curburele principale ale hipersuprafeței, iar vectorii proprii corespunzători acestora se numesc direcții principale. $k^{{(1)}},k^{{(2)}},\puncte k^{{(n)}}$

Într-un sistem de coordonate care într-un punct de hipersuprafață are vectori de coordonate care coincid cu direcțiile principale, matricea tensorii de curbură totală va fi diagonală: $P$ $b_{{ij}}=b_{i}^{j}$

(23)\qquad B=(b_{{ij)))={\begin{bmatrix}k^{{(1)}}&0&\cdots &0\\0&k^{{(2)}}&\cdots &0 \\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\0&0&\cdots &k^{{(n)}}\end{bmatrix}}

Același lucru se poate scrie în notație tensorală:

(24)\qquad b_{{ij}}=k^{{(i)}}\delta _{{ij}}

În această formulă, adăugarea după indice nu este efectuată. $i$

Să notăm expansiunea spectrală a tensorului folosind valorile proprii și vectorii. Într-un sistem de coordonate arbitrar avem: $b_{{ij}}$

(25)\qquad b_{{ij}}=\sum _{{s}}k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(s)}}\tau _{j}^ {{(e)}}

Ecuații Peterson-Codazzi

Se consideră acțiunea comutatorului derivatelor covariante asupra vectorilor de coordonate:

(26)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]{\mathbf {r}}_{i}=-R_{{\,ijk}}^{s}{\mathbf {r} }_{s}

Putem scrie acest comutator în termeni de tensor de curbură totală:

(27)\qquad [\nabla _{j}\nabla _{k}]{\mathbf {r}}_{i}=\nabla _{j}(\nabla _{k}{\mathbf {r} }_{i})-\nabla _{k}(\nabla _{j}{\mathbf {r}}_{i})=\nabla _{j}{\mathbf {b}}_{{ki }}-\nabla _{k}{\mathbf {b}}_{{ji}}=

\qquad =(\nabla _{j}{\mathbf {n}})b_{{ki}}+{\mathbf {n}}\nabla _{j}b_{{ki}}-(\nabla _{ k}{\mathbf {n}})b_{{ji}}-{\mathbf {n}}\nabla _{k}b_{{ji}}=-(b_{j}^{s}b_{{ ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}}){\mathbf {r}}_{s}+{\mathbf {n}}(\nabla _{j}b_{{ki} }-\nabla _{k}b_{{ji}})

Comparând formulele (26) și (27), găsim:

(28)\qquad R_{{\,ijk}}^{s}=b_{j}^{s}b_{{ki}}-b_{k}^{s}b_{{ji}},\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}

(29)\qquad \nabla _{j}b_{{ki}}=\nabla _{k}b_{{ji}}

Ecuația (29) se numește ecuația Peterson-Codazzi . Această egalitate poate fi interpretată după cum urmează: derivata covariantă a tensorului de curbură totală pentru o suprafață este un tensor simetric cu trei indici:

(30)\qquad \nabla _{i}b_{{jk}}=b_{{ijk}}

Tensor de curbură intrinsecă

Să substituim expansiunea spectrală (25) în formula (28). Găsirea tensorului Riemann:

(31)\qquad R_{{ijkl}}=b_{{ik}}b_{{jl}}-b_{{il}}b_{{jk}}=\sum _{{p,s}}\left (k^{{(p)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{k}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j} ^{{(s)}}\tau _{l}^{{(s)}}-k^{{(p)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{ l}^{{(p)}}k{(s)}\tau _{j}^{{(s)}}\tau _{k}^{{(s)}}\right)=

\qquad =\sum _{{p,s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{j }^{{(s)}}\left(\tau _{k}^{{(p)}}\tau _{l}^{{(s)}}-\tau _{l}^{{ (p)}}\tau _{k}^{{(e)}}\dreapta)

Să introducem notația unui bivector - o zonă orientată construită pe doi vectori de direcții principale: ${\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)))$

(32)\qquad {\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)}}={\boldsymbol {\tau }}^{{(p)))\wedge {\boldsymbol {\tau }}^{ {(e)}}

sau la fel in componente:

(33)\qquad \sigma _{{ij}}^{{(ps)}}=\tau _{i}^{{(p)}}\tau _{j}^{{(s)}} -\tau _{j}^{{(p)}}\tau _{i}^{{(s)}}

Acești bivectori au aria unitară și sunt reciproc ortogonali:

(34)\qquad |{\boldsymbol {\sigma }}^{{(ps)}}|=|{\boldsymbol {\tau }}^{{(p)))||{\boldsymbol {\tau } }^{{(s)}}|\sin \phi =1

(35)\qquad \sigma _{{ij}}^{{(ps)}}\sigma ^{{(kl)\,ij}}=0,\;{\mbox{if }}(ps)\ neq(kl)

În partea dreaptă a formulei (31), termenii diagonali cu aceiași indici sunt egali cu zero, iar termenii în afara diagonalei sunt împărțiți în două grupuri de același număr: termeni cu , și termeni cu . Prin urmare, formula (31) poate fi rescrisă după cum urmează: $p=s$ $p<s$ $p>s$

(36)\qquad R_{{ijkl}}=\sum _{{p<s}}k^{{(p)}}k^{{(s)}}\sigma _{{ij}}^{ {(ps)}}\sigma _{{kl}}^{{(ps)}}

Este ușor de observat din formula (36) și din proprietatea bivectorului pe care trebuie să o păstreze identitatea algebrică Bianchi. La urma urmei, pentru orice bivector (zonă orientată) avem identitatea: $\sigma ){ij}$

(37)\qquad \sigma _{{ij}}\sigma _{{kl}}+\sigma _{{jk}}\sigma _{{il}}+\sigma _{{ki}}\sigma _ {{jl}}=0

În sistemul de coordonate construit pe direcțiile principale ale hipersuprafeței, vectorii proprii au coordonate:

(38)\qquad \tau _{i}^{{(s)}}=\delta _{i}^{s},\qquad {\boldsymbol {\tau }}^{{(s)}}= \{0,0,\dots 1,0,\dots 0\}

Aici, în expresia dintre paranteze, unitatea se află pe locul -, restul coordonatelor sunt egale cu zero. $s$

De asemenea, este ușor să scrieți coordonatele bivectorilor folosind formulele (33): $\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}$

(39)\sigma _{{ij}}^{{(ps)}}={\begin{cases}1,&i=p,\,j=s\\-1,&i=s,\,j= p\\0,&{\mbox{pentru orice alte }}i,j\end{cazuri}}

Din (39) și (36) găsim componentele non-nule ale tensorului Riemann:

(40)\qquad R_{{ijij}}=-R_{{ijji}}=k^{{(i)}}k^{{(j)}},\qquad i\neq j

În plus, deoarece în sistemul de coordonate ales tensorul metric este egal cu matricea de identitate, găsim tensorul Ricci și curbura scalară :

(41)\qquad R_{{ij}}=\sum _{{s}}R_{{isjs}}=0,\qquad {\mbox{if }}i\neq j

(41a)\qquad R_{{ii}}=\sum _{{j\neq i}}R_{{ijij}}=k^{{(i)}}\sum _{{j\neq i}} k^{{(j)}}

(42)\qquad R=\sum _{{i,j \over i\neq j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}=2\sum _{{i< j}}k^{{(i)}}k^{{(j)}}

Reflecție într-o singură hipersferă ${\mathbb {S}}^{n}$

Pentru fiecare punct al hipersuprafeței , avem un vector normal unitar (Formula 3), pe care îl punem deoparte de originea sistemului de coordonate carteziene în spațiul euclidian . Capătul acestui vector (punct) se află pe o hipersferă cu raza unitară. Să luăm în considerare care poate fi imaginea întregii suprafețe pe această hipersferă. ${\mathbf {r}}={\mathbf {r}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})$ ${\mathbf {n}}={\mathbf {n}}(u^{1},u^{2},\dots u^{n})$ $(n+1)$

Dacă hipersuprafața este plată, atunci doar un punct de pe hipersferă va fi imaginea acesteia. Imaginea unui cilindru sau con va fi o linie pe o hipersferă (un cerc este pentru un cilindru sau con circular). Într-un caz mai general, aceasta va fi o zonă a hipersferei, care, în special, poate acoperi întreaga hipersferă, chiar și de mai multe ori. Deci, pentru o varietate închisă avem o caracteristică întreagă - de câte ori imaginea sa acoperă hipersfera unității. Evident, această caracteristică nu se modifică la mici deformații ale varietății și este un invariant topologic al hipersuprafeței.

Pentru a obține o formulă integrală pentru calcularea acestui invariant, este necesară o formulă pentru conversia volumelor la reflexie într-o hipersferă unitară . ${\mathbb {S}}^{n}$

În primul rând, luăm în considerare un mic segment pe varietate, pe care îl vom reprezenta ca un vector . Imaginea sa pe hipersferă va fi un segment: $d{\mathbf {r}}={\mathbf {r}}_{i}du^{i}$

(43)\qquad d{\mathbf {n}}={\mathbf {n}}_{i}du^{i}=-(b_{i}^{j}du^{i}){\mathbf {r}}_{j}

Acum putem considera o casetă construită pe vectori: $n$

(44)\qquad (d{\mathbf {r}})^{{(1)}}={\mathbf {r}}_{1}du^{1},\;(d{\mathbf {r }})^{{(2)}}={\mathbf {r}}_{2}du^{2},\;\dots \;(d{\mathbf {r}})^{{(n )}}={\mathbf {r}}_{n}du^{n}

Volumul acestei casete va fi valoarea unui multivector compus din următorii vectori:

(45)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {r}})))=({\mathbf {r}}_{1}\wedge {\mathbf {r}} _{2}\wedge \cdots \wedge {\mathbf {r}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}

Imaginile vectorilor (44) de pe hipersferă vor fi următorii vectori: ${\mathbb {S}}^{n}$

(46)\qquad {\begin{matrix}(d{\mathbf {n}})^{{(1)))={\mathbf {n}}_{1}du^{1}=(-\ suma _{{i_{1}}}b_{1}^{{i_{1}}}{\mathbf {r}}_{{i_{1}}})du^{1}\\(d{ \mathbf {n}})^{{(2)}}={\mathbf {n}}_{2}du^{2}=(-\sum _{{i_{2}}}b_{2} ^{{i_{2))}{\mathbf {r}}_{{i_{2}}})du^{2}\\\cdots \\(d{\mathbf {n}})^{{ (n)}}={\mathbf {n}}_{n}du^{n}=(-\sum _{{i_{n}}}b_{n}^{{i_{n}}}{ \mathbf {r}}_{{i_{n}}})du^{n}\end{matrice}}

Din aceste imagini, alcătuim și un multivector:

(47)\qquad d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {n}})))=({\mathbf {n}}_{1}\wedge {\mathbf {n}} _{2}\wedge \cdots \wedge {\mathbf {n}}_{n})du^{1}du^{2}\cdots du^{n}=(-1)^{n}\det (b_{j}^{i})\,d{\boldsymbol {\tau }}^{{({\mathbf {r}})))}

Din formula (47) se poate observa că imaginea multivectorului este proporțională cu originalul cu un coeficient de proporționalitate, pe care îl notăm astfel:

(48)\qquad K^{{[n]}}=(-1)^{n}\det(b_{j}^{i})=(-k^{{(1)}})(- k^{{(2)}})\cdots (-k^{{(n)}})

și numiți-o curbura gaussiană de gradul al treilea. Acest coeficient , până la un semn, este egal cu produsul curburelor principale ale hipersuprafeței. $n$

Proprietățile de produs ale curburilor principale ale unei hipersuprafețe bidimensionale au fost studiate pentru prima dată de matematicianul german Carl Friedrich Gauss în 1827 .

integrala gaussiana

Luați în considerare o hipersuprafață închisă (cum ar fi o sferă, un torus etc.) și să integrați curbura Gauss pe întreaga suprafață (aceasta este integrala Gauss): $M$

(49)\qquad I=\int _{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})))}

Integrandul datorat lui (47) este egal cu elementul de volum al hipersferei unitare , luat cu semnul plus sau minus, în funcție de semnul curburii gaussiene. O imagine pe o hipersferă poate avea pliuri atunci când același punct al hipersferei este acoperit cu un semn „plus” pentru un punct al varietății și cu un semn „minus” pentru un alt punct al varietății. În acest caz, contribuțiile corespunzătoare la integrala (49) sunt compensate. Dar din moment ce imaginea nu are margini rupte (pentru suprafețe cu două fețe), trebuie să acopere întreaga hipersferă, poate de mai multe ori. Acest fapt poate fi scris sub următoarea formulă: ${\mathbb {S}}^{n}$

(50)\qquad \int _{{M}}K^{{[n]}}d\tau ^{{({\mathbf {r}})}}=N\omega _{{n+1} }

unde este un număr întreg (pentru suprafețe cu două fețe), care poate fi fie pozitiv, fie negativ și este volumul unei hipersfere unitare: $N$ $\omega _{{n+1}}$

(51)\qquad \omega _{{n+1}}=\omega ({\mathbb {S}}^{n})={2\pi ^{{n+1 \over 2}} \over \ Gamma({n+1 \peste 2})}

Pentru suprafețele unilaterale, formula (50) este și ea valabilă, dar în ea numărul este o jumătate întreg (deoarece același punct al varietatii are două imagini - puncte diametral opuse pe hipersferă). $N$

Rețineți că nu pentru toate numerele întregi și jumătăți întregi există o suprafață netedă închisă pentru care egalitatea (50) este valabilă. De exemplu, dacă dimensiunea unei hipersuprafețe este n = 1, adică o curbă pe un plan, numărul nu poate fi o jumătate întreg (curba în formă de picătură are o coadă în care vectorii normali sunt opuși, dar acest punct nu este un punct obișnuit). Numerele întregi sunt realizate prin curbe care (datorită auto-intersecțiilor) se înfășoară în jurul unui punct fix al planului o dată. Formula (50) pentru curbă se va scrie după cum urmează: $N$ $N$ $N$ $N$ $L$

(51)\qquad -\oint _{L}kds=2\pi N

unde este curbura curbei, luată cu semnul plus sau minus, în funcție de dacă curba se îndoaie în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic. Numărul N = 0 este realizat pentru o curbă în formă de opt. $k$ $N$

Pentru o suprafață bidimensională ( ) în spațiul tridimensional, numărul este jumătate din caracteristica lui Euler: $S$ $n=2$ $N$

(52)\qquad N={1 \over 2}\chi (S)

și, prin urmare, poate lua toate valorile întregi și jumătate întregi mai mici sau egale cu unul: $N\leq 1$

Exemple

În spațiul bidimensional (plan) orice curbă închisă este o suprafață