Numar de contact

Număr de contact (uneori numărul lui Newton [1] [2] , în chimie corespunde numărului de coordonare [2] ) - numărul maxim de bile cu raza unitară care pot atinge simultan una din aceeași minge în spațiul euclidian n - dimensional (este se presupune că bilele nu pătrund unele în altele, adică volumul de intersecție a oricăror două bile este egal cu zero).

Este necesar să se distingă numărul de contact de numărul de contact de pe zăbrele [3]  - un parametru similar pentru cel mai dens ambalaj regulat de bile . Calculul numărului de contact în cazul general este încă o problemă matematică nerezolvată .

Istorie

În cazul unidimensional, nu mai mult de două segmente de unitate de lungime pot atinge același segment:

În cazul bidimensional, problema poate fi interpretată ca găsirea numărului maxim de monede care ating cea centrală. Figura arată că puteți plasa până la 6 monede:

Aceasta înseamnă că . Pe de altă parte, fiecare cerc tangent taie un arc de 60° pe cercul central, iar aceste arce nu se intersectează, deci . Se poate observa că în acest caz estimările de sus și de jos coincid și .

În cazul tridimensional, vorbim de mingi. De asemenea, aici este ușor să construiți un exemplu cu 12 bile care ating cea centrală - sunt situate la vârfurile icosaedrului  - prin urmare . Această limită inferioară era deja cunoscută de Newton .

Acest aranjament este liber, vor exista goluri destul de vizibile între bile. Estimarea de sus a devenit cauza cunoscutei dispute dintre Newton și D. Gregory în 1694. Newton a susținut că , iar Gregory a obiectat că ar putea fi posibil să se aranjeze 13 bile. El a efectuat calcule și a constatat că aria mingii centrale este de peste 14 ori aria de proiecție a fiecăreia dintre mingile care se atinge, deci . Dacă permiteți modificarea razelor bilelor cu 2%, atunci este posibil să vă înclinați până la 14 bile.

Abia în 1953, într-un articol al lui Schütte și van der Waerden [4] , s-a stabilit în cele din urmă că Newton avea dreptate, în ciuda lipsei unei dovezi riguroase.

În cazul cu patru dimensiuni, este destul de dificil să ne imaginăm mingi. Amplasarea a 24 de sfere cu patru dimensiuni în jurul celei centrale este cunoscută de mult timp , este la fel de regulat ca in cazul bidimensional si rezolva simultan problema numarului de contact de pe retea. Aceasta este aceeași plasare ca și cuaternionii de unități întregi .

Acest aranjament a fost declarat în mod explicit în 1900 de către Gosset [5] . Chiar mai devreme, a fost găsită (într-o problemă echivalentă) în 1872 de către matematicienii ruși Korkin și Zolotarev [6] [7] . Această locație a oferit o evaluare de mai jos .

Încercările de a estima acest număr de sus au condus la dezvoltarea unor metode subtile de teorie a funcțiilor, dar nu au dat un rezultat exact. În primul rând, am reușit să demonstrăm că , apoi am reușit să reducem limita superioară la . În cele din urmă, în 2003, matematicianul rus Oleg Musin a reușit să demonstreze că [8] .

În dimensiunile 8 și 24 s-a obținut o estimare exactă în anii 1970 [9] [10] . Dovada se bazează pe egalitatea numărului de contact și a numărului de contact de pe rețea în aceste dimensiuni: rețeaua E8 (pentru dimensiunea 8) și rețeaua Leach (pentru dimensiunea 24).

Valori și estimări cunoscute

În prezent, valorile exacte ale numerelor de contact sunt cunoscute doar pentru , dar și pentru și . Pentru alte valori, limitele superioare și inferioare sunt cunoscute.

Dimensiune Concluzie Limită superioară
unu 2
2 6
3 12
patru 24 [8]
5 40 44 [11]
6 72 78 [11]
7 126 134 [11]
opt 240
9 306 364 [11]
zece 500 554
unsprezece 582 870
12 840 1 357
13 1154 [12] 2069
paisprezece 1606 [12] 3 183
cincisprezece 2564 4 866
16 4 320 7 355
17 5 346 11 072
optsprezece 7 398 16 572 [11]
19 10 688 24 812 [11]
douăzeci 17 400 36 764 [11]
21 27 720 54 584 [11]
22 49 896 82 340
23 93 150 124 416
24 196 560

Aplicații

Problema are aplicație practică în teoria codificării. În 1948, Claude Shannon a publicat o lucrare de teoria informației care arată posibilitatea transmiterii de date fără erori în canale de comunicație zgomotoase folosind coordonatele de împachetare ale sferelor unitare în spațiul n-dimensional. Vezi și distanța Hamming .

Vezi și

Note

  1. ↑ Yaglom, I. M. Problema cu bile treisprezece . - Kiev: școala Vishcha, 1975. - 84 p.
  2. ↑ 1 2 J. Conway, N. Sloan. Ambalaje de bile, zăbrele și grupuri . - M . : Mir, 1990. - T. 1. - 415 p. — ISBN 5-03-002368-2 . Copie arhivată (link indisponibil) . Preluat la 29 mai 2011. Arhivat din original la 6 octombrie 2014. 
  3. ↑ Numerele de contact din grilă: secvența OEIS A001116
  4. ↑ Schütte, K. și van der Waerden, BL Das Problem der dreizehn Kugeln  (nedefinit)  // Math. Ann. . - 1953. - T. 125 , nr 1 . - S. 325-334 . - doi : 10.1007/BF01343127 .
  5. ↑ Gosset, Thorold. Pe figurile regulate și semiregulate în spațiul de n dimensiuni  //  Mesager al matematicii : jurnal. - 1900. - Vol. 29 . - P. 43-48 .
  6. ↑ Korkine A., Zolotareff G. Sur les formesatiques positives quaternaires  (neopr.)  // Math. Ann. . - 1872. - V. 5 , Nr. 4 . - S. 581-583 . - doi : 10.1007/BF01442912 . Rus. trad.: Zolotarev E. I. Full. col. op. - L . : Editura Academiei de Științe a URSS, 1931. - S. 66-68.
  7. ↑ N. N. Andreev, V. A. Yudin. Minimum arfimetic de formă pătratică și coduri sferice  // Educație matematică . - 1998. - Nr 2 . - S. 133-140 .
  8. ↑ 1 2 Musin O. R. Problema celor douăzeci și cinci de sfere  // Advances in Mathematical Sciences . - Academia Rusă de Științe , 2003. - T. 58 , Nr. 4 (352) . - S. 153-154 .
  9. ↑ Levenshtein V. I. On boundaries for packings in n - dimensional Euclidian space // DAN SSSR. - 1979. - T. 245 . - S. 1299-1303 .
  10. ↑ A.M. Odlyzko, NJA Sloane. Noi limite ale numărului de sfere unitare care pot atinge o sferă unitară în n dimensiuni  //  J. Combin. Teoria Ser. A  : jurnal. - 1979. - Vol. 26 . - P. 210-214 . - doi : 10.1016/0097-3165(79)90074-8 .
  11. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Hans D. Mittelmann și Frank Vallentin. [ http://arxiv.org/abs/0902.1105 Limite de programare semidefinită de înaltă precizie pentru numerele sărutate] // Matematică experimentală. - 2010. - T. 19 , nr 2 . - S. 174-178 .
  12. ↑ 1 2 V. A. Zinoviev, T. Erickson. Noi limite inferioare pentru numărul de contact pentru dimensiuni mici  // Probl. transmitere de informaţii .. - 1999. - T. 35 , Nr. 4 . - S. 3-11 .

Link -uri