Lema lui Nakayama

Lema lui Nakayama este o lemă tehnică importantă în algebra comutativă și geometria algebrică , o consecință a regulii lui Cramer . Numit după Tadashi Nakayama .

Formulări

Are multe formulări echivalente. Iată una dintre ele:

Fie R un inel comutativ cu identitate 1, I un ideal în R , iar M un modul finit generat peste R. Dacă IM = M , atunci există un ∈ I astfel încât pentru fiecare m ∈ M am = m .

Dovada lemei. Fie generatori ai modulului M . Deoarece M = IM , fiecare dintre ele poate fi reprezentat ca $m_{1},m_{2},...,m_{n}$

m_{i}=a_{{i1}}m_{1}+a_{{i2}}m_{2}+\dots +a_{{in}}m_{n}

, unde sunt elemente ale idealului I . Adică (unde este simbolul Kronecker ).

a_{{ij}}

\sum \limits _{{j}}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})m_{j}=0

\delta _{{ij}}

Din formula lui Cramer pentru acest sistem rezultă că pentru orice j

\operatorname {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})\cdot m_{j}=0

Deoarece reprezentăm sub forma 1 − a , a din I , se demonstrează lema. $\operatorname {det}(\delta _{{ij}}-a_{{ij}})$

Următorul corolar al afirmației dovedite este cunoscut și sub numele de Lema lui Nakayama:

Corolarul 1: Dacă, în condițiile lemei, idealul I are proprietatea că pentru fiecare dintre elementele sale a , elementul 1 − a este inversabil (de exemplu, acesta este cazul dacă I este conținut în radicalul Jacobson ) , trebuie să fie M = 0 .

Dovada . Există un element a al idealului I astfel încât aM = M , deci (1 − a)M = 0, înmulțind de la stânga cu elementul invers la 1 − a , obținem că M = 0.

Aplicație la module peste inele locale

Fie R un inel local , un ideal maxim în R , M un R - modul finit generat și un homomorfism de factorizare. Lema lui Nakayama oferă un mijloc convenabil de a trece de la un modul M peste un inel local R la un modul de coeficient , care este un spațiu vectorial cu dimensiuni finite peste un câmp . Următoarea afirmație este, de asemenea, considerată a fi o formă a lemei lui Nakayama, așa cum este aplicată în acest caz: $\mathfrak{m}$ $\phi :M\to M/{\mathfrak {m}}M$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $R/{\mathfrak {m}}$

Elementele generează un modul M dacă și numai dacă imaginile lor generează un modul de coeficient . $m_{1},m_{2},...,m_{n}\în M$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$

Dovada. Fie S un submodul în M generat de elemente , Q = M/S un modul factor și un homomorfism de factorizare. Deoarece generează un modul de coeficient , aceasta înseamnă că pentru fiecare există , astfel încât . Apoi . Deoarece este surjectiv, aceasta înseamnă că . După lema lui Nakayama (mai precis, conform Corolarul 1) Q=0 , adică S=M . $m_{1},m_{2},...,m_{n}$ $\pi :M\la Q$ $\phi (m_{1}),\phi (m_{2}),...,\phi (m_{n})$ $M/{\mathfrak {m}}M$ $m\în M$ $s\în S$ $ms\in {\mathfrak {m}}M$ $\pi (m)=\pi (ms)\in {\mathfrak {m}}Q$ $\pi$ $Q={\mathfrak {m}}Q$

Există o altă versiune a lemei lui Nakayama pentru module peste inele locale:

Fie un homomorfism de R -module finit generate . Induce un homomorfism al modulului coeficient . Aceste homomorfisme sunt fie surjective, fie non-surjective în același timp. $\phi :\,M\la N$ $\phi _{0}:\,M/{\mathfrak {m}}M\la N/{\mathfrak {m}}N$

Pe baza acestei forme a lemei lui Nakayama, se derivă următoarea teoremă importantă:

Fiecare modul proiectiv ( generat finit ) pe un inel local este gratuit.

Literatură

M. Atiyah, I. MacDonald. Introducere în algebra comutativă. — M .: Mir , 1972. — 160 p.

Vezi și

Tadashi Nakayama