Numărul Liouville

Un număr Liouville este un număr irațional care poate fi aproximat prin numere raționale, astfel încât pentru orice număr întreg există infinit de perechi de numere întregi ( ) astfel încât: $X$ $n$ $(p,q)$ $q>1$

0<\left|x-{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{n})}

Un număr diofantin [1] este un număr irațional care nu poate fi reprezentat în acest fel, adică atunci când este aproximat printr-un număr rațional, eroarea este cel puțin o anumită putere a numitorului:

{\displaystyle \exists C,\alpha >0\colon \quad \forall p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} \quad \left|x-{\frac {p}{q} }\right|\geqslant {\frac {C}{q^{\alpha ))))

După teorema de aproximare a numărului algebric a lui Liouville , fiecare număr irațional algebric este diofantin. Prin urmare, în special, orice număr Liouville este transcendental , ceea ce face posibilă construirea explicită a numerelor transcendentale ca sume de serii convergente superrapide de numere raționale.

Numerele diofantine sunt tipice din punct de vedere metric : setul lor are măsura Lebesgue completă . Numerele Liouville, dimpotrivă, sunt tipice din punct de vedere topologic : mulțimea lor este reziduală .

Măsura iraționalității numerelor Liouville: în plus, dacă măsura iraționalității unui număr este infinită, atunci este Liouville (uneori această proprietate este luată ca definiție a numerelor Liouville). $\mu (x)=+\infty$

Exemplul clasic de număr Liouville este constanta Liouville , definită ca:

\sum _{{k=1}}^{\infty }10^{{-k!}}=0{,}1100010000000000000000010000\ldots

Note

↑ Milnor J. Dinamica holomorfă. Prelegeri introductive = Dinamica într-o variabilă complexă. Prelegeri introductive. - Izhevsk: Centrul de cercetare „Dinamica regulată și haotică”, 2000.