Potenţial logaritmic

Potențialul logaritmic este funcția definită în ℝ 2 ca convoluția funcției generalizate ρ cu funcția -ln| z |:

V=-\rho \ln |z|.

Potențialul logaritmic satisface ecuația Poisson Δ V = −2πρ. Prin analogie cu potențialul newtonian , putem lua în considerare trei cazuri particulare de potențial logaritmic.

Sensul fizic

Sensul fizic al potențialelor logaritmice este că ele corespund potențialului creat de sarcini (sau mase ) în electrostatică bidimensională (sau gravitație newtoniană bidimensională) distribuită cu o densitate (bidimensională) ρ. Din punctul de vedere al electrostaticei tridimensionale convenționale, vorbim despre un potențial electrostatic creat de o distribuție de sarcină care are simetrie translațională de-a lungul uneia dintre axele spațiale (de-a lungul axei ortogonale cu planul, coordonatele carteziene pe care se află componente ale vectorului z - sau părțile sale reale și imaginare, dacă se consideră z ca un număr complex), cu alte cuvinte, distribuția sarcinilor, independentă de a treia coordonată, constantă de-a lungul acesteia (potențialul firului încărcat).

Potențialul zonei

V(z)=\iint \limits _{G}\rho (\zeta)\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}d\xi \,d\eta,\qquad \zeta =\xi +i\eta .

Dacă , atunci potențialul în sine este armonic în și $\rho (z)\in C({\overline {G}))$ $V(z)\in C^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\iint \limits _{G}\rho (\zeta )d\xi \,d\eta +O\left({ \frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Aici, așa cum se face adesea, se înțelege reprezentarea ca plan complex; totuși, în cadrul definițiilor, acest lucru nu este esențial și, în acest sens, aici se pot înlocui variabile complexe pur și simplu cu vectori bidimensionali, iar modulul unui număr complex cu norma euclidiană în , și dacă este , de asemenea, complex, se pot lua în considerare părțile sale reale și imaginare separat. $\mathbb {R} ^{2}$ $\zeta ,\z$ $\mathbb {R} ^{2}$ $\rho$

Potențialul logaritmic al unui strat simplu

V^{(0)}(z)=\mu \delta _{S}\ln {\frac {1}{|z|}}=\int \limits _{S}\mu (\zeta )\ln {\frac {1}{|z-\zeta |}}dS_{\zeta }.

Dacă , atunci potențialul în sine este armonic în și $\mu (z)\in C(S)$ $V^{(0)}(z)\în C(\mathbb {R} ^{2})$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus S$

V^{(0)}(z)=\ln {\frac {1}{|z|}}\int \limits _{S}\mu (\zeta)dS_{\zeta }+O\ stânga({\frac {1}{|z|}}\dreapta),\ |z|\rightarrow \infty .

Dacă S este curba Lyapunov , atunci potențialul are derivate, iar discontinuitatea lor se observă pe curba însăși:

\left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right) {\Bigg |}_{+}=-\pi \mu (z )+{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} )),

\left({\frac {\partial V^{(0)}}{\partial \mathbf {n} }}\right) {\Bigg |}_{-}=\pi \mu (z) +{\frac {\partial V^{(0)}(z)}{\partial \mathbf {n} )).

Potențial logaritmic dublu strat

V^{(1)}(z)=-\ln {\frac {1}{|z|}}*{\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}(\nu \delta _{S})=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\partial }{\partial \mathbf {n} }}\left(\ln {\frac {1} {|z-\zeta |}}\right)dS_{\zeta }=\int \limits _{S}\nu (\zeta ){\frac {\cos \varphi }{|z-\zeta |}} dS_{\zeta },

unde φ este unghiul dintre normala în punctul ζ și vectorul rază trasat în acest punct din punctul z .

Dacă , atunci potențialul în sine este armonic în și $\nu (z)\in C(S)$ $V^{(1)}(z)$ $\mathbb {R} ^{2}\setminus G$

V^{(1)}(z)=O\left({\frac {1}{|z|}}\right),\ |z|\rightarrow \infty .

Dacă S este curba Lyapunov , atunci:

V^{(1)}\în C({\overline {G)))\cap C(S)\cap C(\mathbb {R} ^{2}\setminus G)

și

V_{+}^{(1)}(z)=\pi \nu (z)+V^{(1)}(z),

V_{-}^{(1)}(z)=-\pi \nu (z)+V^{(1)}(z).

Dacă, în plus, densitatea este o valoare constantă, potențialul este egal cu

V^{(1)}={\begin{cases}-2\pi \nu ,\ z\in G,\\-\pi \nu ,\z\in S,\\0,\z \in \mathbb {R} ^{2}\setminus {\overline {G}}.\end{cases}}

Vezi și

Literatură

Vladimirov V. S. , Zharinov V. V. Ecuații ale fizicii matematice. — M.: Fizmatlit, 2004. — ISBN 5-9221-0310-5 .
UN. Tihonov, A.A. Samara. Ecuații ale fizicii matematice. — M.: Nauka, 1972.

Link -uri

[bse.sci-lib.com/article091961.html Potențialul în Marea Enciclopedie Sovietică]