Problema Neumann

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 5 decembrie 2019; verificările necesită 5 modificări .

Problema Neumann , a doua problemă a valorii la limită - în ecuații diferențiale, o problemă a valorii la limită cu condiții la limită date pentru derivata funcției dorite la limita regiunii - așa-numitele condiții la limită de al doilea fel. După tipul de zonă, problema Neumann poate fi împărțită în două tipuri: internă și externă . Numit după Carl Neumann .

Enunțul problemei

Problema internă a lui Neumann se pune după cum urmează: găsiți o funcție din domeniu care îndeplinește următoarele condiții: $\Omega$ $u\in C^2(\Omega)\cap C^1(\overline{\Omega})$

\Delta u = 0

în zona

\Omega

\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n}}\Bigg|_{\partial \Omega}=u_1(\mathbf{x}),\ u_1\in C(\partial \Omega),

unde este operatorul Laplace , este unitatea exterioară normală la granița domeniului . $\Delta$ $\mathbf {n}$ $\Omega$

Pe domenii nemărginite ( problema Neumann externă ), în formularea problemei se adaugă o condiție suplimentară pentru mărginirea la infinit a funcției dorite . Soluția problemei exterioare Neumann într-un spațiu dimensional este unică dacă funcția este la infinit . În cazul bidimensional, soluția poate fi găsită până la o constantă dacă este îndeplinită condiția (*). $\Omega$ $u$ $n>2$ $u \rightarrow 0$

În cazul general, a doua problemă a valorii la limită este problema rezolvării unei ecuații diferențiale parțiale cu un comportament dat al derivatei la graniță.

Condiție de solvabilitate

Din teoria potențialului se știe că o condiție necesară pentru rezolvarea problemei interne Neumann este îndeplinirea egalității.

$\int \limits _{\;\partial \Omega }u_{1}(\mathbf {x} )dS=0,\qquad \qquad (*)$

în acest caz, soluția problemei interne Neumann poate fi găsită doar până la o constantă. [unu]

Interpretare fizică

Pentru ecuațiile diferitelor procese, a doua problemă cu valoarea limită, spre deosebire de primele , sunt date și interpretate în moduri diferite, de exemplu:

Pentru ecuația de conducere a căldurii sunt date sub forma , care este interpretată ca un flux de căldură la limita regiunii. $\Bigl. -\lambda \frac{\partial u}{\partial \mathbf{n)) \Bigr|_{\partial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x})$
Pentru ecuațiile derivate din ecuațiile lui Maxwell, de exemplu, ecuația pentru un vector este interpretată ca un câmp magnetic la graniță. Astfel de condiții se numesc condiții la limită magnetică . Pentru că un vector este interpretat ca un câmp electric la limită și se numesc condiții electrice la limită . În cazul unei ecuații scalare, acestea sunt date ca: , în cazul vectorial: [2] . $\mathbf {E}$ $\mathbf {H}$ $\Bigl. -\mu^{-1} \frac{\partial E}{\partial \mathbf{n)) \Bigr|_{\partial \Omega_2} = u_1(\mathbf{x})$ $\Bigl. \left ( \mu^{-1} \nabla \times \mathbf{E} \right ) \times \mathbf{n} \Bigr|_{\partial \Omega_2} = \mathbf{u_1}(\mathbf{x })$

Soluție analitică

O soluție analitică pentru problema Neumann poate fi exprimată folosind funcția lui Green :

u(\mathbf {y} )=\int _{\partial \Omega {u_{1}(\mathbf {x} )G(\mathbf {x},\mathbf {y} )dx)

unde este funcția lui Green pentru operatorul Laplace din domeniul . $G(\mathbf{x},\mathbf{y})$ $\Omega$

A doua condiții la limită în metodele numerice

La rezolvarea problemei prin diferite metode numerice, a doua condiții la limită sunt luate în considerare în moduri diferite:

În metoda diferențelor finite , derivata este aproximată printr-o schemă specială de diferențe, pe aceeași grilă, iar ecuația rezultată este adăugată la sistemul general $\frac{\partial u}{\partial \mathbf{n))$
În metoda elementelor finite, a doua valoare limită este luată în considerare în formularea variațională și sunt adăugiri la partea dreaptă a ecuației : $\mathbf{b}_i = \int_{\Omega}{f(\mathbf{x})\varphi_i(\mathbf{x})dx} + \int_{\partial \Omega_2}{u_1(\mathbf{x} )\varphi_i(\mathbf{x})dx}$ $f(\mathbf{x})$ $\partial \Omega_2$ $\varphi_i(\mathbf{x})$ $i$

Vezi și

Literatură

V.M. Uroev. Ecuații ale fizicii matematice. - M .: IF Yauza, 1998. - ISBN 5-88923-026-3 .

Note

↑ M. M. Smirnov. Ecuații cu diferențe parțiale de ordinul doi. - Moscova: Nauka, 1964.
↑ 1 2 Soloveichik Yu.G. , Royak M.E. , Persova M.G. Metoda elementelor finite pentru probleme scalare și vectoriale. - Novosibirsk: NGTU, 2007. - 896 p. - ISBN 978-5-7782-0749-9 .

Fizică matematică

Tipuri de ecuații

Condiții de frontieră

Ecuații ale fizicii matematice

Difuzie și convecție	Ecuația căldurii Ecuația de difuzie Ecuația Mason-Weaver
Hidrodinamică	Ecuația de transfer Ecuații Navier-Stokes Ecuația lui Euler Ecuația Gromeka-Lamb Ecuația vortexului Ecuația burgerii Ecuații pentru apă puțin adâncă Ecuația Korteweg-de Vries
Electromagnetism	Ecuațiile lui Maxwell Ecuația Helmholtz Ecuația Landau-Lifshitz Ecuația Poisson ecranată
Mecanica cuantică	Ecuația Schrödinger Ecuația Heisenberg Ecuația Rarita-Schwinger Ecuația lui Hartree Ecuația lui Dirac Ecuația Klein-Gordon
Modele generale	Ecuația de continuitate ecuația de undă Ecuația Fokker-Planck Ecuația Poisson

Metode de rezolvare

Metode de rezolvare a ecuațiilor diferențiale

Metode grilă

Metode cu elemente finite	Metoda elementului finit metoda Galerkin Metoda Galerkin discontinuă Metoda cu elemente finite la scară multiplă Metoda Multigrid
Alte Metode	Metoda diferențelor finite Metoda volumului finit metoda lui Godunov Metoda elementului de limită

Metode non-grilă

Studiul ecuațiilor

subiecte asemănătoare