Măsura iraționalității

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 16 iunie 2020; verificările necesită 7 modificări .

O măsură a iraționalității unui număr real este un număr real care indică cât de bine poate fi aproximat prin numere raționale . $\alfa$ $\mu$ $\alfa$

Definiție

Fie un număr real și să fie mulțimea tuturor numerelor astfel încât inegalitatea să aibă doar un număr finit de soluții în numere întregi și : $\alfa$ $M(\alpha )$ $\mu$ $0<\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{\mu }}}$ $p$ $q>0$

M(\alpha )=\left\{\mu >0\colon (\exists q_{0}=q_{0}(\mu ,\;\alpha ))\;(\forall p,\; q\in \mathbb {Z} )\;q>q_{0}\Rightarrow \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{\ mu }}}\lor \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|=0\right\}.

Atunci măsura iraționalității unui număr este definită ca infimum : $\mu (\alpha )$ $\alfa$ $M(\alpha )$

\mu (\alpha )=\inf M(\alpha ).

Dacă , atunci să presupunem . $M(\alpha )=\varnothing$ $\mu (\alpha )=+\infty$

Cu alte cuvinte, este cel mai mic număr astfel încât pentru orice pentru toate aproximațiile raționale cu un numitor suficient de mare este adevărat că . $\mu$ $\varepsilon >0$ ${\frac {p}{q))$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {1}{q^{{\mu +\varepsilon }}}}$

Valori posibile ale măsurării iraționalității

$\mu (\alpha )=1$ dacă și numai dacă este un număr rațional. $\alfa$
Dacă este un număr algebric irațional , atunci . $\alfa$ $\mu (\alpha )=2$
Dacă este un număr transcendental , atunci . În special, dacă , atunci numărul se numește număr Liouville . $\alfa$ $\mu (\alpha )\geqslant 2$ $\mu (\alpha )=+\infty$ $\alfa$

Legătura cu fracții continuate

Dacă este expansiunea unui număr într-o fracție continuă și este a-cea fracție continuă potrivită, atunci $\alpha =[a_{0};\;a_{1},\;a_{2},\;\ldots ]$ $\alfa$ ${\frac {p_{n}}{q_{n}}}$ $n$

\mu (\alpha )=1+\limsup \limits _{{n\to +\infty }}{\frac {\ln q_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}=2 +\limsup \limits _{{n\to +\infty }}{\frac {\ln a_{{n+1}}}{\ln q_{n}}}.

Folosind această formulă, este deosebit de ușor de găsit o măsură a iraționalității pentru iraționalitățile pătratice , deoarece expansiunile lor în fracții continue sunt periodice. De exemplu, pentru secțiunea de aur și apoi . $\varphi =[1;\;1,\;1,\;\ldots ]$ $\mu (\varphi )=2$

Teorema Thue-Siegel-Roth

După lema Dirichlet , dacă este irațional, atunci există un număr infinit de p și q astfel încât , adică . În 1844, Liouville a demonstrat o teoremă conform căreia pentru orice număr algebric de grad , se poate alege o constantă astfel încât . În 1908, Thue a întărit această evaluare. Alte rezultate în această direcție au fost obținute de Siegel , Dyson , Gelfond , Schneider . Cea mai precisă estimare a fost dovedită de Roth în 1955, teorema rezultată se numește teorema Thue-Siegel-Roth . Ea susține că dacă este un număr algebric irațional, atunci . Pentru această dovadă, Roth a primit medalia Fields . $\alfa$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$ $\mu (\alpha )\geqslant 2$ $\alfa$ $n$ $c=c(\alpha)$ $\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|\geqslant {\frac {c}{q^{n}}}$ $\alfa$ $\mu (\alpha )=2$

O măsură a iraționalității unor numere transcendentale

Pentru aproape toate numerele transcendentale, măsura iraționalității este egală cu 2. Este bine cunoscut faptul că , precum și numerele Liouville sunt cunoscute , care, prin definiție, au o măsură infinită a iraționalității. Cu toate acestea, pentru multe alte constante transcendentale, măsura iraționalității este necunoscută; în cel mai bun caz, este cunoscută o estimare superioară. De exemplu: $\mu \left(e\right)=2$

$\mu \left(\pi \right)\leqslant 7{,}103205334137$ [unu]
$\mu \left(\zeta \left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891$
$\mu \left(\ln 3\right)\leqslant 5{,}116201$
$\mu \left(\pi ^{2}\right)\leqslant 5{,}09541179$ [2]
$\mu \left({\frac {\pi }{\sqrt {3)}}\right)\leqslant 4{,}230464$ [3]
$\mu \left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391$

Vezi și

Note

↑ Doron Zeilberger, Wadim Zudilin. Măsura iraționalității lui Pi este de cel mult 7,103205334137 . archive.org (2019). Arhivat 17 octombrie 2020. (nedefinit)
↑ Măsurarea iraționalității - de la Wolfram MathWorld . Preluat la 28 februarie 2021. Arhivat din original la 11 ianuarie 2021. (nedefinit)
↑ V. A. Androsenko, Măsurarea iraționalității numărului π/√3, Izv. A FUGIT. Ser. matematica. , 2015, volumul 79, numărul 1, 3–20

Link -uri

Weisstein , Eric W. Măsurarea iraționalității la Wolfram MathWorld .