O măsură a iraționalității unui număr real este un număr real care indică cât de bine poate fi aproximat prin numere raționale .
Fie un număr real și să fie mulțimea tuturor numerelor astfel încât inegalitatea să aibă doar un număr finit de soluții în numere întregi și :
Atunci măsura iraționalității unui număr este definită ca infimum :
Dacă , atunci să presupunem .
Cu alte cuvinte, este cel mai mic număr astfel încât pentru orice pentru toate aproximațiile raționale cu un numitor suficient de mare este adevărat că .
Dacă este expansiunea unui număr într-o fracție continuă și este a-cea fracție continuă potrivită, atunci
Folosind această formulă, este deosebit de ușor de găsit o măsură a iraționalității pentru iraționalitățile pătratice , deoarece expansiunile lor în fracții continue sunt periodice. De exemplu, pentru secțiunea de aur și apoi .
După lema Dirichlet , dacă este irațional, atunci există un număr infinit de p și q astfel încât , adică . În 1844, Liouville a demonstrat o teoremă conform căreia pentru orice număr algebric de grad , se poate alege o constantă astfel încât . În 1908, Thue a întărit această evaluare. Alte rezultate în această direcție au fost obținute de Siegel , Dyson , Gelfond , Schneider . Cea mai precisă estimare a fost dovedită de Roth în 1955, teorema rezultată se numește teorema Thue-Siegel-Roth . Ea susține că dacă este un număr algebric irațional, atunci . Pentru această dovadă, Roth a primit medalia Fields .
Pentru aproape toate numerele transcendentale, măsura iraționalității este egală cu 2. Este bine cunoscut faptul că , precum și numerele Liouville sunt cunoscute , care, prin definiție, au o măsură infinită a iraționalității. Cu toate acestea, pentru multe alte constante transcendentale, măsura iraționalității este necunoscută; în cel mai bun caz, este cunoscută o estimare superioară. De exemplu: