Eversiune minimax

Minimax eversion este o clasă de eversion sferică cu ajutorul modelelor intermediare .

Aceasta este o metodă variațională și constă din homotopii speciale (care sunt cele mai scurte căi din energia Willmore ).

Metoda originală a modelelor intermediare nu a fost optimă - homotopiile obișnuite trec prin modele intermediare, dar calea de la sfera rotundă la modelul intermediar a fost construită manual și nu a fost o urcare/coborâre în gradient.

Eversiune prin modele intermediare sunt numite eversiune purse-string [1] .

Modele intermediare

Modelul intermediar este scufundarea sferei în și se numește așa deoarece este o fază intermediară a eversiei sferei . Această clasă de inversare are simetrie temporală - prima jumătate a homotopiei obișnuite mapează sfera rotundă regulată la modelul intermediar, iar a doua jumătate (care mapează modelul intermediar la sfera inversată) este același proces invers. $S^{2}$ $\mathbb {R} ^{3}$

Explicație

Rob Kushner a propus o versiune optimă a eversiei folosind energia Willmore pe spațiul tuturor imersiilor sferei în . O sferă rotundă și o sferă rotundă inversată sunt singurele minime globale pentru energia Willmore, iar o inversare minimax este o cale care leagă aceste stări printr-un punct de șa (similar cu călătoria între două văi printr-o potecă montană) [2] . $S^{2}$ $\mathbf {R} ^{3}$

Modelele Kushner intermediare sunt puncte de șa pentru energia Willmore care decurge (conform teoremei lui Brian) din anumite suprafețe minime complete din spațiul tridimensional. O eversiune minimax constă într-o ascensiune în gradient de la o sferă rotundă la un model intermediar, apoi o coborâre în gradient la o sferă evertită (coborârea în gradient pe energia Willmore se numește flux Willmore ). Mai simetric, începeți cu un model intermediar, deplasați-vă într-o direcție și mergeți în josul râului Willmore până la o sferă circulară, apoi mutați-vă în direcția opusă în josul râului Willmore până la o sferă răsturnată.

Există două familii de modele intermediare (această observație se datorează lui Francis și Morin):

ordine impară: o generalizare a suprafeței Boy : simetrie de 3 ori, 5 ori etc. Modelul intermediar este un plan proiectiv dublu acoperit (în general o sferă imbricată 2-1).
ordine uniformă: o generalizare a suprafeței Morin : simetrie de 2 ori, 4 ori etc. Modelul intermediar este în general o sferă imbricată 1-1, iar o jumătate de tură schimbă suprafețele sferei.

Istorie

Prima eversie a sferei bine definită a fost propusă de Shapiro și Phillips la începutul anilor 1960, folosind suprafața Boy ca model intermediar. Mai târziu, Morin a descoperit suprafața (acum numită după el) și a folosit-o pentru a construi alte inversiuni ale sferei. Kushner a venit cu eversiune minimax la începutul anilor 1980 - detalii istorice .

Note

↑ Carter, 2012 , p. 17.
↑ Emmer, 2005 , p. 485.

Literatură

Bending Energy and the Minimax Eversions (în „ The Optiverse” de John M. Sullivan și alte versiuni de sferă )
Michele Emmer. Mintea vizuală II . - MIT Press, 2005. - ISBN 978-0-262-05076-0 .
J. Scott Carter. O excursie în algebră diagramă: Transformarea unei sfere de la roșu la albastru . - World Scientific, 2012. - ISBN 978-981-4374-50-7 .