Poliedrul Chasar

Poliedrul Chasar  este un poliedru neconvex , echivalent topologic cu un tor , cu 14 fețe triunghiulare.

Acest poliedru nu are diagonale  - orice pereche de vârfuri este conectată printr-o muchie. Cele șapte vârfuri și 21 de muchii ale politopului lui Chasar formează o încorporare a graficului complet într-un tor topologic . Din cele 35 de triunghiuri posibile formate de vârfurile poliedrului, doar 14 sunt fețe. Dacă cele șapte vârfuri sunt numerotate de la 1 la 7, torul poate fi tăiat într-o frunză echivalentă topologic cu următoarele:

Acest model poate fi folosit pentru a tesela un avion. În figura de mai sus, fețele sunt după cum urmează (vârful 1 în partea de sus a figurii):

• Albastru:

(1, 2, 3) (1, 3, 4) (1, 4, 5) (1, 5, 6) (1, 6, 7) (1, 7, 2)

• roșu

(2, 3, 6) (6, 3, 5)

• galben

(3, 5, 7) (7, 5, 2)

• Verde

(6, 2, 4) (4, 2, 5)

• Albastru

(4, 6, 7) (4, 7, 3)

Cu această numerotare, locația vârfurilor de la sfârșitul videoclipului (în sensul acelor de ceasornic, începând de la 1) este următoarea: 1, 2, 5, 4, 3, 7, 6, 5, 2, 7, 3, 4 , 5, 6, 7.

Există o oarecare libertate în aranjarea vârfurilor, dar unele aranjamente duc la intersecția fețelor și gaura nu se formează.

Toate vârfurile sunt echivalente din punct de vedere topologic, așa cum se poate vedea din placarea planului din ilustrația de mai sus.

Tetraedrul și poliedrul Császár sunt singurele două poliedre (care au o varietate limită ) fără diagonale, deși există și alte poliedre, cum ar fi poliedrul Schoenhardt , care nu au diagonale interioare (adică toate diagonalele unui poliedru sunt în afara poliedrului) , precum și suprafețe fără diagonale care nu sunt varietăți [1] [2] . Dacă un poliedru cu v vârfuri este încorporat într-o suprafață cu h găuri în așa fel încât orice pereche de vârfuri este conectată printr-o muchie, caracteristica lui Euler implică faptul că

Această egalitate este valabilă pentru un tetraedru cu h = 0 și v = 4 și pentru un poliedru Chasar cu h = 1 și v = 7. Următoarea soluție posibilă, h = 6 și v = 12, ar putea corespunde unui poliedru cu 44 de fețe. și 66 de muchii, dar nu poate fi implementat. Nu se știe dacă există poliedre cu gen mai mare [3] . În general, această egalitate poate fi satisfăcută numai atunci când v este egal cu 0, 3, 4 sau 7 modulo 12 [4] .

Poliedrul Csasar poartă numele topologului maghiar Akos Csasarcare a descoperit poliedrul în 1949. Politopul Silashi, dublu cu politopul Chasar , a fost găsit în 1977 de Lajos Silashi.. Are 14 vârfuri, 21 de muchii și șapte fețe hexagonale , fiecare două fețe împărțind o muchie. La fel ca politopul Chasar, politopul Silashi are topologia unui tor.

Note

1. ↑ Szabó, 1984 .
2. ↑ Szabó, 2009 .
3. ↑ Ziegler, 2008 .
4. ↑ Lutz, 2001 .

Literatură

• A. Csaszar. Un poliedru fără diagonale // Acta Sci. Matematică. Szeged. - 1949. - T. 13 . - P. 140-142.
• Martin Gardner. Călătoria în timp și alte nedumeriri matematice . - W. H. Freeman and Company, 1988. - S.  139-152 . — ISBN 0-7167-1924-X .
  • Martin Gardner. Capitolul 11 ​​„Poliedrul Chasar” // Călătorie în timp. - Moscova: „Mir”, 1990. - S. 165-178. — ISBN 5-03-001166-8 .
• Martin Gardner. Muzică fractală, Hypercard și multe altele: Recreeri matematice de la Scientific American . - W. H. Freeman and Company, 1992. - S.  118-120 . — ISBN 0-7167-2188-0 .
• Frank H. Lutz. Torul lui Császár  // Modele de geometrie electronică. — 2001.
• Sandor Szabo. Poliedre fără diagonale // Periodica Mathematica Hungarica. - 1984. - T. 15 , nr. 1 . - S. 41-49 . - doi : 10.1007/BF02109370 .
• Sandor Szabo. Poliedre fără diagonale II // Periodica Mathematica Hungarica. - 2009. - T. 58 , nr. 2 . - S. 181-187 . - doi : 10.1007/s10998-009-10181-x .
• Günter M. Ziegler. Geometrie diferențială discretă / AI Bobenko, P. Schröder, JM Sullivan, GM Ziegler. - Springer-Verlag, 2008. - T. 38. - S. 191-213. — (seminarii Oberwolfach). - ISBN 978-3-7643-8620-7 . - doi : 10.1007/978-3-7643-8621-4_10 .

Link -uri

• Weisstein, Eric W. Csaszar Polyhedron  (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .